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井戸型:シュレーディンガー

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お礼率 14% (10/70)

井戸型ポテンシャルの問題です。
どうも数学的な計算が苦手なものでして・・・。
できれば詳しくお願い致します。

ポテンシャル
U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L
U(x,y)=∞、それ以外

無限に深い井戸型ポテンシャル内の粒子運動を考える。
井戸内でのシュレーディンガー方程式は 【エッチバー:H とする】
-H^2/2m{∂^2φ(x,y)/∂x^2 + ∂^2φ(x,y)/∂y^2}+U(x,y)φ(x,y)=Eφ(x,y)
である。固有関数は
φ(x,y)=A・sin(aπx/L)sin(bπx/L)、(a,b=1,2,3,・・・)とする。

問1
基底状態(a=1、b=1)のエネルギー固有値を計算せよ。
問2
基底状態の固有関数を用いて、規格化条件からAを求めよ。
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  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

まず、微分積分の基本。
sin(kx)をxで微分すると、k*cos(kx)。
cos(kx)をxで微分すると、-k*sin(kx)。
sin(kx)をxで積分すると、-cos(kx)/k。
cos(kx)をxで積分すると、sin(kx)/k。
sin(ax)sin(by)をxで偏微分すると、
a*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、
-a^2*sin(ax)sin(by)。
sin(ax)sin(by)をyで偏微分すると、
b*cos(ax)cos(by)。もう一度偏微分すると、
-b^2*sin(ax)sin(by)。
以上基礎知識。

問1補足:
φをシュレディンガー方程式に代入するが、二階偏微分すると、
その部分は、
-(π/L)^2(a^2+b^2)A・sin(aπx/L)sin(bπx/L)
=-(π/L)^2(a^2+b^2)φ
となります。
U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L
で、0≦x≦L、0≦y≦L の範囲の任意の
x,yでU(x,y)=0ですから、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)=E
が成り立ちます。φは両辺共通で消えます。

問2補足:
|φ|^2の積分をしようとすると、
(sin(πx/L))^2*(sin(πx/L))^2
のxとyの積分が出てきます。xとyの積分は、xとyについて
独立にします。
つまり(sin(πx/L))^2がわかればいいですね。
(sin(ax))^2=(1-cos(2ax))/2が三角関数の公式ですから、
(sin(πx/L))^2の積分は
(x/2-sin(πx/L)L/(4π))です。
結局、0からLまで積分すると、
(L/2-0)-(0-0)=L/2。
yについても同様だから、
|φ|^2のx,yについて0からLまでの積分は、
(AL/2)^2になります。
規格化条件は
(AL/2)^2=1となりますから、
A=2/Lです。

以上の補足でいかかでしょうか。
お礼コメント
powerless

お礼率 14% (10/70)

ありがとうございました。
また勉強させていただきます。
投稿日時 - 2001-11-15 22:25:22
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  • 回答No.1
レベル12

ベストアンサー率 43% (186/425)

問1. 固有関数をシュレディンガー方程式に代入して、微分を実行すると、 H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)φ+Uφ=Eφ となる。 U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L より、 H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)=E となり、基底状態(a=1、b=1)では エネルギー固有値は E_0=H^2/(2m)(π/L)^2・・・(答) 問2. |φ|^2 ...続きを読む
問1.
固有関数をシュレディンガー方程式に代入して、微分を実行すると、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)φ+Uφ=Eφ
となる。
U(x,y)=0、0≦x≦L、0≦y≦L
より、
H^2/(2m)(π/L)^2(a^2+b^2)=E
となり、基底状態(a=1、b=1)では
エネルギー固有値は
E_0=H^2/(2m)(π/L)^2・・・(答)

問2.
|φ|^2を0≦x≦L、0≦y≦L で積分した値が1になるように
規格化因子Aをとる。
|φ|^2を0≦x≦L、0≦y≦L で積分した値は、
(LA)^2/4でこれが1だから、
A=2/L・・・(答)

たぶんこれでOK。
補足コメント
powerless

お礼率 14% (10/70)

解答ありがとうございます。
ただ、微分・積分が苦手なものですから、
お暇があれば途中経過も記入して頂くとありがたいです。
どうでしょうか?
投稿日時 - 2001-11-14 20:20:34
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