tanxのマクローリン展開について

質問

「f(x)=tanxのマクローリン展開をn=3まで求めなさい」という問題について、悩んでいます。

f(x)＝sin(x)やf(x)＝cos(x)の例を参考に、f'(0)、f''(0)、f'''（0)より級数形式の一般項を求めようとしました。

tanx=sinx/cosxなので、ｆ'=1/cos^2xですが、このままf''、f'''と求めるのは大変面倒な気がします。

最終的な回答は、x+x^3/3+2x^5/15+34x^7/315らしいのですが、こちらから一般項に辿り着けません。

わかる方がいらっしゃいましたら、教えてください。
できましたら、途中の進め方を詳しくお願い致します。

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

1/(cosx)^2=1+(tanx)^2という公式をフル活用します。
tanxをxで微分すると
(tanx)'=f'(x)=1/(cosx)^2=1+(tanx)^2
となります。
あとは
f''(x)=2*(tanx)*(tanx)'=2tanx+2*(tanx)^3
f'''(x)=2(tanx)'+2*3*(tanx)^2*(tanx)'=2+8tanx^2+6(tanx)^3
といった感じで、f''(x)、f'''(x)、…は計算できます。

お礼

回答いただき、ありがとうございました。

微分を進めて、何とか回答に辿り着きましたが、一般項がうまく求められません。

補足を記入しましたので、もう少しお助けいただけますと、幸いです。

補足

微分のヒントを頂き、ありがとうございました。

n次の微分を計算していき、x->0とすると、

微分次数が
奇数時は　f',f''',f'''''…=f(2n+1)=1,2,16,272…、
偶数時は　f,f'',f''''…=f(2n)=0
（上記f( )内は微分次数のつもりです）

となるのは分かりました。
力技で、回答には辿り着けましたが、うまく一般項にできません。

つまり、tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)と表記するにあたり、1,2,16,272…（n=0,1,2,3…のとき）を一般化して[?]に表すにはどうすればよろしいでしょうか。

もう少しのお助けをお願い致します。

回答No.3

siegmund

最も標準的な方法はやはり f^{(n)}(x) を次々計算する方法でしょう．
具体的テクニックは No.1 で yoikagari さんが書かれているとおりです．

ただし，今の場合はもう少し簡便にやる方法もあります．
n=3 までということは x^3/3 の項まで求めよということでしょうね．

sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ・・・
　　　 = x(1+f)
f = -x^2/3! + x^4/5! - ・・・
と書き，同様に
cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ・・・
　　　 = 1-g
g = x^2/2! - x^4/4! + ・・・
としておきます．
tan(x) = sin(x)/cos(x) ですから
tan(x) = x(1+f)/(1-g)
　　　 = x(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・)
となります．
右辺全体に x がかかっていますから，x^3 のオーダーまで求めるには
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^2 のオーダーまで求めればよいわけです．
f も g も x^2 から始まりますから，
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) = {(-1/3!)+1/2!}x^2 + (x^4 以上の項)
となり，
{(-1/3!)+1/2!} = 1/3
から
tan(x) = x + x^3/3 + ・・・
が分かります．
これくらいでしたらほとんど暗算で済みますね．

n=5 までやるのでしたら，
(1+f)(1+g+g^2+g^3+・・・) で x^4 のオーダーまで求める必要があります．
この場合は
(a) 1+f の x^4 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の１との積
(b) 1+f の １と (1+g+g^2+g^3+・・・) の x^4 のオーダーの項の積
(c) 1+f の x^2 のオーダーの項と(1+g+g^2+g^3+・・・) の x^2 のオーダーの項の積
の３つが x^4 に寄与します．
(a) から来る寄与は 1/5!
(b) から来る寄与は
　　g そのものから -1/4!，
　　g^2 から (1/2!)^2
(c) からは -(1/3!)×(1/2!)
合わせて
1/5! - 1/4! + (1/2!)^2 - (1/3!)×(1/2!) = 2/15
なので，
tan(x) = x + x^3/3 + (2/15)x^5 + ・・・
こっちはちょっと暗算では無理か(少なくとも私には)．

なお，一般項がシンプルな形に書ける方がむしろ珍しいです．

お礼

回答ありがとうございます。

sin(x) ,cos(x)は例題に詳しい回答があるため展開形の商も考えたのですが、ご紹介の手法が思いつきませんでした。

なお、例題の回答はsin(x) ,cos(x)がシンプルな一般項になっていたため、tan(x)も同様になるのかと思った次第です。

回答No.2

kabaokaba

まず，関数の冪級数展開をしたときに
その一般項がお望みのように

tanx=Σ([?]*x^(2n+1)/(2n+1)!)

のような「すっきりした形」で書けるという
保証はないんです．
実際，ある種の数列{A_n}は
ある関数f(x)を冪級数展開した際に
f(x)=Σ(A_n/n!) x^{n}　----(1)
と現れる係数であるという風に定義されるものも
あります．

さて，本題．じつはtan(x)も
この手の仲間です
ベルヌーイ数と呼ばれる値B_nを用いて
tan(x) =
Σ( (B_n(-4)^n (1-4^n) ) / (2n) )x^(2n-1)
なんていうに表せます．

それでベルヌーイ数B_nというのは
f(x)=x/(e^{x}-1)
を冪級数展開したときの
上の(1)で定義される数列です
B_0=-1
B_n=(-1)/(n+1) Σ_{i=0}^{n-1} (n+1 i) Bi
ここで(n+1 i)は二項係数
ベルヌーイ数ってのは
こういう関数の展開とかには結構よくでてくる
不思議な数列です

お礼

補足への回答ありがとうございます。

さすがにベルヌーイ数は、今回の問題に対する事前例題に説明すらありませんので、「n=3まで」＝「手作業で到達できるところまで」という問題と解釈します。