位置ベクトルの問題です。

質問

こんにちは。

月曜日、ベクトルのテストがあります。
勉強しているのですが、今週は休みが多く、授業がテスト範囲まで進みませんでした。
残りの部分は各自で勉強するように、といわれたのですが、教科書を見ても問題集の解答を読んでもさっぱり分からない問題があります。
問題は以下のものです。

平面上の２定点O，Aと動点Pに対し、次のベクトル方程式で表される円の中心の位置と半径を求めよ。
（注：OP、OAは全てベクトルです）

（問１）｜２OP－OA｜＝4
（問２）OP・(OP-２OA)＝0

円のベクトル方程式
｜p-c｜=r
(p-a)(p-b)=0
というのを使えばいいのでしょうが、説明を受けていないのでどうやってつかえばいいのかわかりません。
どなたか詳しく解説していただけませんでしょうか。

どうぞよろしくお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No2です。（ベクトルを[ ]で表します）

図示できればわかりやすいと思いますので、自分でかきながら読み進めてください。

｜[p]-[c]｜=r つまり、｜[OP]-[OC]｜= r が円を表しているという意味
　　　動点をＰ、定点をＣ、原点をＯとすると、[OP]-[OC]=[CP]　となりますよね。この
　　　[CP]の長さが一定の r になるならば、点ＰはＣを中心とした半径 r の円上を動くと
　　　いえます。したがって、｜[OP]-[OC]｜= r は中心が点Ｃで半径 r の円を表す式だと
　　　いえます。
　　　これを問題に適用する場合、｜動点の位置ベクトル－定点の位置ベクトル｜ = r の
　　　形にすればよいわけです。
　　　そして、定点の位置ベクトルが例えば1/2c とかなったなら、円の中心はOCの中点と言えるのです。

([p]-[a])・([p]-[b])=0 、つまり([OP]-[OA])・([OP]-[OB])=0 がABを直径とする円となる意味
　　　２定点をＡ，Ｂとし、動点をＰとすると、
　　　[OP]-[OA]=[AP]、[OP]-[OB]=[BP] ですよね。[AP]と[BP]の内積が０だからこの２つの
　　　ベクトルは垂直になる、つまり、∠APB=90°になるということです。
　　　中学のときの円周角の定理を思い出すと、３点Ａ，Ｂ，Ｐは同一円周上にあり、しかも
　　　AB が円の直径だとわかります。
　　　これを問題に適用する場合、(動点の位置ベクトル－定点Ａの位置ベクトル)・(動点の
　　　位置ベクトル－定点Ｂの位置ベクトル)=0 の形にすればいいわけです。

お礼

回答ありがとうございます。

詳しい解説をありがとうございました。
これできっちり分かったと思います。

新たにたてた質問の方でも、よろしければご回答下さい。
ありがとうございました。

回答No.2

debut

（問１）｜p-c｜= r の形になるように｜2OP-OA｜=4 を変形、つまり両辺を２で割る。
　　　　｜OP-1/2OA｜=2 　すると、中心cにあたる部分と半径rにあたる部分がわかる。

（問２）OPとOP-2OAが垂直だから、2OAが円の直径とわかるけど、(p-a)・(p-b)=0 の形を
　　　　使うのであれば、与式を (OP-OO)・(OP-2OA)=0 と読みかえれば、この円がどれとどれ
　　　　を直径の両端とするかわかるはず。（図をかいてみよう）

お礼

回答ありがとうございました。

ベクトルは難しいです……図を書いて、しっかりやってみます。
ありがとうございました。

回答No.1

eatern27

＞授業がテスト範囲まで進みませんでした。
＞残りの部分は各自で勉強するように、といわれたのですが、

ありえませんね^^;

＞｜p-c｜=r
これは、cを中心とする半径rの円

＞(p-a)(p-b)=0
これは、a,bを直径の両端とする円(a,bの中点が中心で、線分abの半分の長さが半径)

ってのは、分かるんですかね？

分かるのなら、このどちらかの形にすればよいのです。

（１）
｜2OP→－OA→｜＝4
⇔|OP→-OA→/2|=2
OA→/2=OB→とすると(⇔OAの中点をBとすると)、
|OP→-OB→|=2

(2)
2OA→=OC→とおくと、
⇔OP→・(OP→-2OA→)＝0
⇔OP→・(OP→-OC→)=0

お礼

回答ありがとうございました。

授業が進まないのは休みが多いせいなので仕方がないのですが、それなら範囲を削って欲しかったです……

ご説明をウケ、何とか分かったと思います。
ただ、他の問題で分からないものが出てきてしまったので、新たに質問をたてました。
そちらもよろしければお願いします。