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集合のベン図について教えて下さい
oodaikoの回答
（４） Venn 図ほどポピュラーではありませんが、よく知られているものとして Haasse（ハッセ）図と言うものがあります。 Haasse図に関してはあまりいいサイトが見当たらなかったので具体例で簡単に 解説しておきます。 ３つの集合の典型的なVenn図はご存知ですね。３つの円が品という字の ように配置され、真中で交わっている奴です。ご存知なければここを御覧下さい http://www.combinatorics.org/Surveys/ds5/VennWhatEJC.html で、この３つの集合をＡ,Ｂ,Ｃとすると部分集合として Ａ,Ｂ,Ｃ,Ａ∩Ｂ,Ａ∩Ｃ,Ｂ∩Ｃ,Ａ∩Ｂ∩Ｃ の７つがあります。Venn図では各部分集合が各領域に対応しています。 さてこの部分集合の間には Ａ⊃Ａ∩Ｂ,Ａ⊃Ａ∩Ｃ,Ｂ⊃Ａ∩Ｂ,Ｂ⊃Ｂ∩Ｃ,……,Ａ∩Ｃ⊃Ａ∩Ｂ∩Ｃ 等の包含関係があります。 そこで各部分集合（この場合はＡとかＢ∩Ｃとかです）をあるルールに従って 平面上に配置し、さらにそのルールに従って各部分集合を線でつなぎます。 そのルールとは ”集合ＸとＹにＸ⊃Ｙという包含関係がある場合は、ＸをＹの上側 （真上でなくてもよい）に配置し、ＸとＹを線でつなぐ” というものです。包含関係がない場合は位置の上下はどうでもよいとします。 このようなルールで作られた線図をHasse図といいます。下の図はそのようにして 作った３つの集合のVenn図に対応するHasse図です。 なお一番上のΦは空集合、すなわちどの集合にも属さないものを表します。 Venn図でいえばどの円にも含まれていない一番外側の領域に対応しています。 Φ ／｜＼ ／ ｜ ＼ ／ ｜ ＼ ／ ｜ ＼ Ａ Ｂ Ｃ ｜＼ ／ ＼ ／｜ ｜ ＼／ ＼／ ｜ ｜ ／＼ ／＼ ｜ ｜／ ＼ ／ ＼｜ Ａ∩Ｂ Ｂ∩Ｃ Ａ∩Ｃ ＼ ｜ ／ ＼ ｜ ／ ＼ ｜ ／ ＼｜／ Ａ∩Ｂ∩Ｃ このようにしてどんなVenn図に対してもそれに対応するHasse図が描けます。 しかし本来のHasse図はVenn図のように「集合」を表すものではなく、「順序構造」 を表すものであり、Venn図よりずっと応用範囲の広いものです。 各要素の間に「順序」という関係が定義されているような集合があるときに ”「順序」の大きいものＸを「順序」の小さいものＹの上に書き、ＸとＹを線で結ぶ” というルールによりその順序構造を図にしたものがHasse図です。 ですから何らかの「順序」が定義されるような体系であればHasse図を書くことが 出来ます。 例えば会社の組織図なども一種のHasse図です。Ａ部がＢ課の上に書いてあれば Ａ部はＢ課より「順序」が大きい（会社組織であればさしずめ権限があるという ことでしょうか）ということを表しているわけです。 集合の集まりに対しても、集合の包含関係を「順序」関係とみなすことにより 順序構造が入るので、Hasse図で表現することも出来るのです。 下のURLにもHasse図の例が載っていますので参考にして下さい。必ずしも 集合のVenn図に対応したものばかりではありません。
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