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方程式の解き方を教えて下さい

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  • 質問No.163901
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お礼率 71% (5/7)

はじめまして。 m(__)m

2次方程式の解き方を教えて下さい。

xの2乗 + 2mx - mの2乗 - 4m + 6=0の時

上記で、1つの解が、2<x<3の範囲にあり、

他の解がx<2 の範囲にあるような「m」の値を求める

場合の解き方を解説していただけないでしょうか。

よろしくお願い致します。 m(__)m
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レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

#3に対する補足

>> f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
>> f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5
>
>良ければここの意味を、もう少しわかりやすく
>解説していただけないでしょうか。

についてですが、
(1) f(2)やf(3)の意味が分からないのでしょうか。
(2) 2次不等式の解き方が分からないのでしょうか。
どちらでもない場合は、補足ください。

・(1)の場合

f(a)というのは、f(x)という式の変数xに、定数aを代入することです。
f(x)=x^2+2mx-m^2-4m+6 と置いたのですから、

f(2)=2^2+2m*2-m^2-4m+6 = 4+4m-m^2-4m+6 = -m^2+10 となります。
同様に
f(3)=3^2+2m*3-m^2-4m+6 = 9+6m-m^2-4m+6 = -m^2+2m+15 です。

>f(2)<0,f(3)>0であることが必要十分です。
ということなので、
f(2)=-m^2+10<0 と f(3)=-m^2+2m+15>0
の2つの不等式が得られます。

・(2)の場合
f(x) = n(x-a)(x-b) とできたとします。ここで、仮にn>0,a>bと大小関係を置いておきます。(このように置いても一般性は失われません。)

i)f(x) > 0 という不等式の場合(等号があっても同じ考え方です。)
 n(x-a)(x-b)>0 ですから、x-a,x-bが共に正か、共に負のどちらかとなります。
 よって、共に正の場合はx>a,x>b で、仮定から x>a(>b) となります。
共に負の場合は x<a,x<bで、仮定から x<b(<a)となります。
 合わせて、 x<b または x>a が答えとなります。

ii)f(x) < 0 という不等式の場合(やはり、等号があっても同じ考え方です。)
 n(x-a)(x-b)<0 ですから x-a,x-bのどちらかが正でどちらかが負となります。
 仮定から、x-a < x-b (*) ですので x-b が正、x-aが負になります。
 よって x>a かつ x<b すなわち、a<x<b が答えになります。

 (*)の説明(念の為しておきます)
  仮定は a>b でした。両辺に-1を掛けると
  -a<-b (負の数を掛けるので不等号が逆向きになります。)
  両辺にxを足すと -a+x<-b+x (同じ数xを足しても不等号の向きは同じ)
  よって x-a<x-b となります。

iii) 最後に a=b 、つまりf(x)= n(x-a)^2の形の場合
 f(x)>0 すなわち n(x-a)^2>0 はx=aを除く全ての実数について常に成り立ちます。
 f(x)<0 すなわち n(x-a)^2<0 を満たす実数xは存在しません。
 なぜなら、仮定で n>0としており、(x-a)^2 は2乗ですから、x=aを除く全ての実数について
 (x-a)^2>0だからです。
 x=a のときは、f(x)=0 になりますね。

※さて、本題の場合
 f(2)=-m^2+10 = -(m^2-10) =-(m-√10)(m+√10)<0 ですね。
 両辺に-1を掛けて(不等号の向きが変わります)(m-√10)(m+√10)>0 です。
 これは上記 i)の形ですから  m<-√10またはm>√10 となります。

 f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0 (因数分解は大丈夫ですよね。)
 やはり両辺に-1を掛けて (m-5)(m+3)<0
 上記ii)の形ですから、-3<m<5 となります。

不等式の一番のポイントは、負の数を掛けると不等号が逆向きになることです。

長くなりまりたが、これで理解いただけましたか。
 
お礼コメント
touin

お礼率 71% (5/7)

hinebotさま、とてもわかりやすい解説をしていただきまして
本当にありがとうございました。
やっと理解することが出来ました。(汗)
これからもご教示のほど、よろしくお願い致します。  
投稿日時 - 2001-11-06 17:09:02
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  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 50% (1122/2211)

二次方程式の解の公式を使って、xの解を出します。これは、mの一次式か二次式に なっているはずですね。 で、二つの解のうち、大きい方(±√の+の方)が2<x<3にあるのですから、 そのxに、さっきのmで表された解を代入して、不等式が二つ。 小さい方が、x<2ですから、同様にmで表されたxを代入して不等式がひとつ。 もしかすると、有理解を持つという条件で解の公式のルートの中身が正である、 ...続きを読む
二次方程式の解の公式を使って、xの解を出します。これは、mの一次式か二次式に
なっているはずですね。

で、二つの解のうち、大きい方(±√の+の方)が2<x<3にあるのですから、
そのxに、さっきのmで表された解を代入して、不等式が二つ。

小さい方が、x<2ですから、同様にmで表されたxを代入して不等式がひとつ。

もしかすると、有理解を持つという条件で解の公式のルートの中身が正である、
という条件で不等式をひとつ、考え合わせる必要があるかも。

というわけで、mについての不等式が3~4でてきて、この連立不等式を解くだけです。
お礼コメント
touin

お礼率 71% (5/7)

お忙しいところ、回答をくださりありがとうございます。

これからもアドバイスをお願い致します。 m(__)m
投稿日時 - 2001-11-06 13:47:14


  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 60% (182/303)

xのn乗は x^n と表記して構いません。 f(x)=x^2-2mx-m^2-4m+6 とおくと、xの方程式 f(x)=0 は、2と3の間に解が1個だけあるので f(2)<0, f(3)>0 または f(2)>0, f(3)<0 となります。 また、xy平面上のグラフ y=f(x) は、下に凸の放物線で、f(x)=0 のもう1つの解が x<2 の範囲にあるため、f( ...続きを読む
xのn乗は x^n と表記して構いません。

f(x)=x^2-2mx-m^2-4m+6 とおくと、xの方程式 f(x)=0 は、2と3の間に解が1個だけあるので
f(2)<0, f(3)>0 または f(2)>0, f(3)<0 となります。
また、xy平面上のグラフ y=f(x) は、下に凸の放物線で、f(x)=0 のもう1つの解が x<2 の範囲にあるため、f(2)<0 となります。
※グラフを描いてみると、わかると思います。
よって、f(2)<0, f(3)>0 を満たすmの不等式になります。
あとは、mの2次不等式を解くだけです。
お礼コメント
touin

お礼率 71% (5/7)

お忙しいところ、回答をくださりありがとうございます。

これからもアドバイスをお願い致します。 m(__)m
投稿日時 - 2001-11-06 13:47:38
  • 回答No.3
レベル10

ベストアンサー率 38% (54/141)

f(x)=x^2+2mx-m^2-4m+6と置きます。 y=f(x)のグラフ(下に凸ですね)の大雑把な図を描いてみましょう。 f(x)=0の解はこのグラフのx軸との交点なので、解が条件を満たすのは f(2)<0,f(3)>0であることが必要十分です。 f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10 f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3) ...続きを読む
f(x)=x^2+2mx-m^2-4m+6と置きます。
y=f(x)のグラフ(下に凸ですね)の大雑把な図を描いてみましょう。
f(x)=0の解はこのグラフのx軸との交点なので、解が条件を満たすのは
f(2)<0,f(3)>0であることが必要十分です。
f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5
よって√10<m<5(整数条件でもあればm=4ですね)
補足コメント
touin

お礼率 71% (5/7)

お忙しいところ、回答ありがとうございました。

> f(2)=-m^2+10<0よりm<-√10またはm>√10
> f(3)=-m^2+2m+15=-(m-5)(m+3)>0より-3<m<5

良ければここの意味を、もう少しわかりやすく
解説していただけないでしょうか。
いまひとつ理解できないもので・・・
よろしくお願い致します。 m(__)m
投稿日時 - 2001-11-06 13:41:03
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