δ関数について

質問

Diracのδ関数について教えてください。公式（定義）のひとつに

２πδ（ｘ）＝Σexp（inx） , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)

がありますが、右辺の ｎ についての和を、整数のかわりに半奇数（n= -∞,・・・, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, ・・・, ∞）と変えた場合、この級数はδ関数と何らかの関係がつけられるものでしょうか？

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

超関数はフーリエ変換やフーリエ級数を使って扱うのがしばしば便利で、ご質問もその範疇のものです。
２πδ（ｘ）＝Σexp（inx） , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)
これは周期２πを持つ周期的δ関数のフーリエ級数展開を表しています。つまりδ(x)は|x|=0,2π, 4π, .... 以外では0になっていて、
∀x (δ(x) = δ(x+2π))
という性質を満たします。

右辺の ｎ についての和を、整数のかわりに半奇数（n= -∞,・・・, -3/2, -1/2, 1/2, 3/2, ・・・, ∞）と変えた場合をD(x)とすると、
D(x) = Σexp(i(n+1/2)x) , (n= -∞,・・・, -2, -1, 0, 1, 2, ・・・, ∞)
=exp(ix/2)Σexp(inx)
=２π exp(ix/2)δ(x)
です。ゆえにD(x)は
|x|=0,2π, 4π, .... 以外では0になっています。また
D(x+2π) = ２π exp(i(x+2π)/2)δ(x+2π)
= ２π exp(ix/2)δ(x+2π)exp(iπ)
= ２π exp(ix/2)δ(x)exp(iπ)
= -２π exp(ix/2)δ(x)
= -D(x)
だから
∀x (D(x) = -D(x+2π))
です。そして、
D(0) = δ(0)
ですから
D(x)は周期４πを持ち、|x|=0, 4π, 8π,... ではδ(x)と同じで、|x|=2π, 6π, ... では-δ(x)と同じである、そういう関数になります。

ちなみに、周期的でないδ関数はフーリエ変換
２πδ(x) = ∫exp(itx) dt (積分は-∞～∞)
で表されます。

お礼

stomachmanさん、こんにちは。とてもわかりやすい説明ありがとうございます。
nを1/2ずらしてδ(x)に関係付けたわけですが、もとの場合とnの取る値の範囲がずれた影響はないのでしょうか？（といっても、-∞+1/2～∞+1/2 をどう考えればいいかよくわかりませんが・・・）

回答No.2

siegmund

stomachman さんの完璧解答があるので，蛇足の補足ですが...

> nを1/2ずらしてδ(x)に関係付けたわけですが、
> もとの場合とnの取る値の範囲がずれた影響はないのでしょうか？
>（といっても、-∞ +1/2～∞+1/2 をどう考えればいいかよくわかりませんが・・・）

単純に考えるなら，すべての n について和を取っているのですから，
すらしても影響はありません．
ただし，もう少し慎重に考えると，無限和に注意しないといけません．
n をずらすのは和の順序を変更するのと同じことで，
無限和で項の順序を変更するには注意が必要です．

δ関数は普通の関数ではなく，stomachman さんが書かれていますように超関数ですが，
とりあえずは積分核＋極限操作と考えて置けばよいでしょう．
こういう立場なら，
exp の中味に -ε|n| という強い収束因子(ε>0)を加えておいて和を収束させ，
「おとなしい」関数との積を作って積分してからε→0 とすれば大丈夫です．
そもそも，もとの Σexp（inx）が通常の意味では収束しませんよね．

なお，今の周期的δ関数は基本周期が -π<x<π ですが，
周期関数でなくて定義域を -π<x<π に限定してしまっている
(しばしば暗黙の内に)場合もありますので，ご注意下さい．
具体的問題に関してδ関数が出てくる場合にどちらになっているかは
その問題の設定によります．

お礼

siegmundさん、こんにちは。蛇足どころか丁寧な補足をありがとうございます。
ご指摘のように、δ関数の実用としては Σexp（-ε|n| +inx） としておけばOKですね。
細かな点の注意もしていただき恐縮です。