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放物線についてです。

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お礼率 65% (43/66)

今、大学受験生なのですが、どうしてもわからない問題があります。

xy平面上で曲線√X+√Y=1は放物線の一部(放物弧)であることを示せ。

という問題なのですが、どのように証明したらよいのでしょうか?
誰か、教えていただけませんでしょうか?
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レベル9

ベストアンサー率 23% (24/104)

こんにちは。
式を書き換えたらどうなるでしょう?
両辺を二乗すると、
X+2√XY+Y=1
(1-(X+Y))^2=4XY
1-2(X+Y)+(X+Y)^2=4XY
1-2(X+Y)+(X-Y)^2=0
2(X+Y)=(X-Y)^2+1
となりますよね。
ここでX+Y=y,X-Y=xとすると、この式は
2y=x^2+1という2次曲線(放物線)の式になります。

また、この場合のx軸はX-Y=0の直線、つまりY=Xですね。
そしてy軸はX+Y=0の直線、つまりY=-Xですね。
この2つは書いてみると分かるのですが、直交してます。
となると、この2つの軸は要するに通常のXY軸ではなく、
45度回転した軸をそれぞれx軸、y軸とする2次曲線であると見ることができます。

分かりますか?
ただし、つらつら考えながら書いたので、学生さんの授業でいう正答であるかは
わかりません。ごめんなさい。
お礼コメント
tetushi

お礼率 65% (43/66)

とても、わかりやすかったです。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-11-12 14:25:32
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