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1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)この式が、(d-1)2^d+1となるらしいのですが、なぜそうなるのかわかりません。どなたか教えてください。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル7

ベストアンサー率 66% (8/12)

 S=1*1+2*2+3*4+4*8+・・・+d*2^(d-1)
2S=  1*2+2*4+3*8+・・・+(d-1)*2^(d-1)+d*2^d
上式から下式を辺々引いて
-S=1+2+4+・・・+2^(d-1)-d*2^d
  =(1-2^d)/(1-2)-d*2^d(等比数列の和の公式)
S=d*2^d+(1-2^d)
 =(d-1)2^d+1
 以上です
    
お礼コメント
rnalaid

お礼率 63% (87/136)

さっそくのご回答ありがとうございます。よくわかりました。ほんとにありがとうございます(^-^;)
投稿日時 - 2001-11-02 00:20:38
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その他の回答 (全2件)

  • 回答No.2

ひとつひとつ見てみると、なんとなーくみえてくると思います。  1*1、2*2、3*4・・・となっていますね。掛ける数(*の左側)と掛けられる数(*の右側)をそれぞれ見ていきます。 (左側)は、1,2,3,4・・・と1ずつふえていってますよね。なので一般式で (つまり文字で表すと)d、d+1、d+2、d+3・・・となります。 (右側)も同じようにみていきます。1,2,4,8・・・と変化し ...続きを読む
ひとつひとつ見てみると、なんとなーくみえてくると思います。

 1*1、2*2、3*4・・・となっていますね。掛ける数(*の左側)と掛けられる数(*の右側)をそれぞれ見ていきます。

(左側)は、1,2,3,4・・・と1ずつふえていってますよね。なので一般式で
(つまり文字で表すと)d、d+1、d+2、d+3・・・となります。

(右側)も同じようにみていきます。1,2,4,8・・・と変化してますよね?これは一見するとなんの規則性もないようにみえるけど、よく考えてみると、

  1=2^0(どんな数もゼロ乗は必ず1になります)⇒このとき右側は 1
  2=2^1(2を一回掛ける)          ⇒このとき右側は 2
  4=2^2(2を二回掛ける→2*2)        ⇒このとき右側は 3
  8=2^3(2を三回掛ける→2*2*2)       ⇒このとき右側は 4

となります。ということはこれも一般式で表せて、2^(d-1)と書ける。
(⇒右側の数字と指数の差はどの項をみても-1となってるでしょ?)

だから1*1+2*2+3*4+4*8+・・・と続けていくとd個めに足されるのは 
d*2^(d-1)で表されるわけです。

これでわかったかな?
わからなかったらまた言ってください。それともほかに誰かもっといい説明をしてくれるかもしれないですが。

  
お礼コメント
rnalaid

お礼率 63% (87/136)

ご丁寧にご回答ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-11-02 00:44:32


  • 回答No.3

blue_monkeyです。 No1,No2の回答で解決済みかもしれませんが、 ほんの少しだけ異なる導出方法について補足させていただきます。 等比級数と微分の知識があれば次のヒントを元に導出可能です。 【ヒント】 ・等比級数の和 (1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)            =(x^(n+1)-1)/(x-1) ・xについて微分を行い、x ...続きを読む
blue_monkeyです。
No1,No2の回答で解決済みかもしれませんが、
ほんの少しだけ異なる導出方法について補足させていただきます。
等比級数と微分の知識があれば次のヒントを元に導出可能です。

【ヒント】
・等比級数の和
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)
     
     =(x^(n+1)-1)/(x-1)
・xについて微分を行い、xに2を代入



【蛇足計算】
(1) f(x)=1+x^(1)+x^(2)+ +x^(n)

(1)式は等比級数の和を考えると

(2) f(x)=(x^(n+1)-1)/(x-1)
(x≠1)
f(x)についてxで微分します。
(1)式をxで微分すると、

(3) (d/dx)f(x)=1+2*x^(1)+3*x^(2)+ +n*x^(n-1)

(2)式をxで微分すると

(4)  (d/dx)f(x)=(n+1)*x^(n)/(x-1)-(x^(n+1)-1)/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n)*(x-1)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[(n+1)*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)-x^(n+1)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n+1)-(n+1)*x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

=[n*x^(n)*(x-1)-x^(n)+1]/(x-1)/(x-1)

(3)と(4)式にx=2を代入しますと

1+2*2^(1)+3*2^(2)+ +n*2^(n-1)

=[n*2^(n)-2^(n)+1]/1/1

=(n-1)*2^(n)+1

以上

誤計算、誤記、ウソがありましたらゴメンナサイ。
お礼コメント
rnalaid

お礼率 63% (87/136)

ご回答ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-11-02 00:50:03
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