逆双曲線関数

質問

複素数のtanh(x)の逆を取りたいのですが。
tanh-1(Q∠φQ)での逆双曲線関数の公式は分かるのですが。
tanh-1(α+jβ)の公式はあるのでしょうか？
もし、知ってる方いらっしゃいましたらお願いします。
いま、UBASICという複素数計算の出来るBASICでプログラムを組んでまして
UBASICですと、α+jβの形式での計算になるので、この形式のままで
いけたらと思ってます。
まぁ、α+jβをQ∠φQの形に直せば、それまでなのですけども。。。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

逆双曲線関数 tanh^{-1} z は
(1)　　tanh^{-1} x = log{(1+z)/(1-z)}
ですから，z を複素数 α+jβとして代入計算整理すれば公式が得られます．
ただし，複素数の log ですので，無限多価関数になっていることに注意が必要です．
tanh^{-1}(α+jβ) の主値は，

(2)　　tanh^{-1}(α+jβ)
　 　　= (1/2) tanh^{-1}{2α/(1+α^2+β^2)} + (j/2) tanh^{-1}{2β/(1-α^2-β^2)}

で，これに nπj (n は整数)を加えたものが一般値です．
主値は tanh^{-1} の加法定理を使うとか，(1)を使って log に書き直すとかで，
他にも等価な表現があります．

間違っているといけないので，岩波の数学公式集で確認しました．
なお，こういうことによく遭遇するのでしたら，この公式集は大変役に立ちます．
一組(三巻です)手元に置いて置かれることをおすすめします．

お礼

ありがとうございます。
岩波の公式集ですね。本屋さんで見てみます。