図形の問題なんですが・・・

質問

凸四辺形ＯＡＢＣにおいて、ＯＡ＝２８、ＡＢ＝２１、ＢＣ＝５、
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＣ＝９０°である時、∠ＡＯＣの大きさを求めよ、という問題なんですが、三平方や三角比などで考えたんですけどだめでした。う～ん、教えてください。

回答No.2

kony0 · ベストアンサー

小学生の知識で解ける解法でいきます。（ただし3:4:5の直角三角形の存在を知っていることは仮定。お受験小学生は知っているはず）まずは答えから。

辺ABを延長して、CからABにおろした垂線の足をHとすると、△OABと△BHCが相似です。
△OABの３辺がわかっているので、BH=4,CH=3が相似から持ってこれる。
で、CからOAに垂線をおろしその足をKとすると、OK=CK=25だから△OKCは直角二等辺三角形。（終）

で、この解法のポイントはたぶん２つほどで、
１．辺の長さから角度を求めようとするのだから、せいぜい三角定規の角度とかだろうという甘い考え（笑）を大事にすること。（→CからOAに垂線をおろす考えが出てきます）
２．直線に対して直角が斜めにささっている形は相似の出るパターンだということ。
これはたとえば「長方形ABCDの紙があって、点Dを辺BC上にくるように紙を折る」というような図で現れる形です。
本問でいうと、直線ABに対して角OBCの直角がささっているので、△BCHというのを付け足そうという発想です。

お礼

相似を見落としていました。ありがとうございました。

回答No.1

128yen

あまり数学が得意ではないのですが。。。

まず図形を書いたあと、∠ＡＯＢ＝θ1、∠ＢＯＣ＝θ2とします。
△ＯＡＢは∠ＯＡＢが直角だから三平方の定理が使えます。でもＯＡ：ＡＢ＝２８：２１＝４：３だから、３：４：５の直角三角形ってことがわかるのでＯＢ＝３５ってすぐに出ますが。

次に∠ＡＯＣ（θとします）の値を求めるには、θ1とθ2を足せばいいのでここでtanの加法定理を使います。

（加法定理）： tanθ＝（tanθ1＋tanθ2)/（１－tanθ1・tanθ2）

ここで図形をみて、tanθ1とtanθ2の値を求めると、tanθ1＝２１／２８＝３／４、tanθ2＝５／３５＝１／７となります。
これらを加法定理の式に代入してあげると、tanθ＝１となります。
これでθの大きさがわかりますよね？

お礼

1つの問題について、いろいろ解き方がありますね。勉強になります。