数学における定義という言葉の意味

質問

数学にはよく・・・と定義するという言い方が出てきますが、数学における定義ということばの意味がよく分かりません。定義というのは発見の一種なのでしょうか。あるいは提案のようなものですか。誤った定義というのはないのでしょうか。定義を行うことができる資格というのは普通の人以上の能力や知識の持ち主に限られているものなのでしょうか。

回答No.12

graphaffine · ベストアンサー

触れようか、どうしようか迷っていましたが、
rabbit_catさんが触れられたので私も一言。

ユークリッドの公理系の中の２３の定義（Definition)には歴史的な意義しかないもの、要するに現代数学ではもはや定義とは成り得ないものがいくつか含まれています。

例えば、第一の定義「点とは部分を持たないものである」などがそれにあたります。
この文章には数学的な意味は全くありません。何故なら、定義とは決め事ですが、この文章では（数学的には）全く何も決めてはいないからです。

お礼

自分で決められない(定義できない）ことは理解できないということになるでしょうか。初歩の独学者にはなかなか分かりません。勉強させてください。ご教示有難うございました。

回答No.11

rabbit_cat

ユークリッド幾何学のページ
http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookI/bookI.html
を見ると、定義と公理の違いがわかるかと。

23個あるDefinitionは、「ＡはＢである」みたいな感じで、Ａという字の並びが、Ｂという字の並びの別名だということを言っています。

その後の、PostulateとCommon notionが公理です。ユークリッド幾何では、特に大きさに関する公理は、Common notionと呼んでいます。

これらは、「ＡとＢはＣという関係にある」という形になっています。Ａ、Ｂ、Ｃ、という３種類の字の並びを、
「ＡとＢはＣという関係にある」
の順番で並べてもよい、といっています。

お礼

前提という言葉には公理と定義の両方が含まれているように思いました。ご教示有難うございました。

回答No.10

rabbit_cat

実際の使用上は混乱している部分もありますが。
「定義」は単に「言い換えること」にすぎないです。新しい概念を持ち込むのは「公理」です。
なので、「公理」には良し悪しがありますが、「定義」には良いも悪いもありません。

たとえば、
「２で割りきれる整数のことを、偶数と定義する」
というのは、これ以降「偶数」という字の並びがでてきたら、それを「２で割りきれる整数」という字の並びに変えてよい、ということです。
２とは何？、整数って何？といった、言葉の意味には立ち入らない、単なる字の置き換えです。

で、「字の並び」に意味を与えるのが「公理」です。公理は、ある「字の並び」と別の「字の並び」の間になりたつ関係を与えます。

お礼

定義には新しいものが含まれていないということですね。新しい対象に対するものは定義ではないということですね。ありがとうございました。

回答No.9

noname#256808

私の感覚ですと

定義＝決め事
公理＝絶対的な事（様々な考えの根本となるもの）
定理＝定義＋公理により導かれたもの。

ぐらいで認識してますけど・・・
専門家じゃないので正しく言えばこんな１行で説明できるようなものではないと思いますけど。
数学を専攻してないならこれぐらいの感覚で良いのでは^^;

定義は決め事ですのであなたでもできます。
例えば
x=3と定義する。
と文中でいえば、xはそれ以降3ということになります。
ただ、数学的に不可能な定義はできません。
この数学的に不可能な定義というのがあなたの言う「誤った定義」という奴ではないですかね。

ただ、普通は定義というのは明らかに定義しても大丈夫な場合だけ使いますね。
「これってこう考えて大丈夫なの？」っていうときは「仮定」すると思います。
例えば「下の図の三角形を直角三角形だと仮定すると・・・」などです。
その結果下の図が直角三角形だと証明できれば仮定は正しかった。
直角三角形でないと証明できれば仮定は正しくなかったということになります。

お礼

あなたのご説明で定義の意味が理解できるような気がしています。どうもありがとうございます。

回答No.8

jmh

定義は、別名や短縮形みたいなモノです。「ＸをＹと定義する」と言えば、その_後_は「Ｘ」と言う代わりに「Ｙ」と言えます。数学では「定義」は本質的には全く必要ないと思います（例えば「二等辺三角形」と言わないで「２辺が等しい、辺が３つの図形」と言えばよいので）。

> 誤った定義…
well-defined の（反対？の）コトかしら？

# あなたは「定義の定義」を質問していますね :-)

お礼

利便性の問題で必須のものではないということですか。どうもご教示ありがとうございました。

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

ここでは、「定義の正しさ」について。

数学においてある定義が正しいかどうかは、その定義を採用することによって矛盾が発生しないかどうかで判断されます。おもしろいのは、日常的な意味を必ずしも反映しなくても良いということです。

たとえば、辺が３つの図形を４角形と定義して、辺が４つの図形を３角形と定義しても、それ自体は、誤りではありません。（とっても迷惑ではありますけど）
これは、極端な例ですが、たとえば、「直線」をどう定義するかは、数学の各分野で変わってきます。
その中では、非ユークリッド幾何学における「直線」のように、日常的な「直線」のイメージからはずれるものもあります。

そう定義しても矛盾がなく、また、新しい理論が展開できるので、日常的なものでなくても、「正しい定義」とされるわけです。

お礼

なるほどと思いました。正否は矛盾が出てくるかどうかなのですね。お互い矛盾する定義は別の体系を創ることになりますか。

回答No.6

piricara

言葉そのものの意味はうまく説明できませんが、

用語の意味を決定することを「定義」といいます。たとえば、
「円」とは、1つの定まった点からの距離がすべて等しい曲線を言う。
は、円の定義といいます。ここで、「点」とはどのようなものを言うかは、定義ではなく、「公理」と言います。公理とは、共通の了解事項で、これ以上議論の必要が無いとする基本を言います。たとえば、2点を通る直線は1本のみである。などは、公理になります。

「定義」、「公理」から導きだされることを「定理」といいます。
二等辺三角形を、２辺が等しい三角形のことを言う。という「定義」と、「公理」から、二等辺三角形の底角は等しいことが証明できます。この時点で、二等辺三角形の底角は等しい は定理として、他の証明で特に証明を必要とせずに利用することができます。

定理を用いて、新たな証明による結果も定理といいます。

二等辺三角形の「定義」は、２辺が等しい三角形のことであって、底角が等しい三角形ではありません。
底角が等しい三角形は二等辺三角形になりますが、これは「定理」です。

したがって、「定義」は発見ではありません。どちらかというと「出発点」です。誤った定義というのは、数学ではありえません。また、「定義」を行うのに資格は必要ありません。

ユークリッドという数学者は、幾何学を行う上で、５つの公理を設けたのですが、第５公理は「平行線は交わらない」といった意味の公理を掲げていたのですが、これが第４公理までの４つに比べてあまりも複雑と思われたため、他の４つの公理で証明できる「定理」ではないかと思われた時代がありました。
その後、「平行線は交わる場合もある」とした「定義」に基づき発展した非ユークリッド幾何学、リーマン幾何学と発展し、アインシュタインの相対性理論などに応用される理論になりました。

現在でも新たな「定義」から、もっと新しい数学体系が出来上がる可能性もあります。
「定義」は簡単ですが、そこから導き出される「定理」をまとめ上げて、体系にすることが大変な労力を必要とすることと思います。

お礼

ご丁寧にご説明頂き有難うございました。改めて勉強させていただきたいと思います。

回答No.5

samui

同じ様な疑問を持っていたので。。。
数学の理論はいくつかの公理から出発して展開されるようです。
公理には無定義述語という、基本的な述語があるようです。
本来はこれで十分に理論を展開できるのですが、
途中で新しい述語を使いたくなる（便利だから）ことがあります。
定義とは
新しい言葉←→基本述語の組み合わせ
という公理を追加すること、です。

何かの本に書いてあったのです。思い出したらご紹介します。私の勘違いかもしれないのでぜひ間違いの指摘をお願いします。

お礼

ご回答有難うございました。私も漠然と定義には２種類あるように感じていました。他の方のご教示に従えば原子と分子のようなものでしょうか。

回答No.4

graphaffine

>数学における定義ということばの意味がよく分かりません。

それでは、数学以外での定義の意味はわかっているのでしょうか。数学であろうとなかろうと、定義とは単なる決め事です。ニュアンスとしては「提案のようなもの」と言ってもいいと思います。

誤った定義とは、決まりがきちんと定められないものです。
例を披露しようと思いましたが、大学数学レベルなので躊躇しています。ご希望がありましたら、投稿します。

#1,#2の方は抽象的過ぎてよくわからないのですが、
具体的にはどのようなものを誤った定義と言っているのでしょうか。

お礼

ご教示有難うございます。提案は自由ということでしょうか。例は是非教えてください。

回答No.3

sunasearch

定義（ていぎ）とは、集団に於いて構成員が共通認識を抱く為に定める概念、術語の正確な意味・約束事をいう。広く一般に定着することにより、効力を発揮することが出来る。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9

ひとつは、上にあるように、三角形や平方根、といった言葉の定義、は、共通に認識されて初めて効果を発揮します。

それ以外に、自分で数式を証明するために、自分で定めた表現として、定義を行うことがあります。

例えば、
集合A を{1, 3, 5, 7, 9} を要素とする集合と定義する。
数式x+2をf(x)と定義する。
などです。

この場合は、その定義に続いて行われる説明の中でのみ有効な定義です。
これは、誰でも行うことができます。

お礼

後者の場合には独学者が正しく学ぶためにも不可欠なものですね。ご解説ありがとうございます。

回答No.2

tukuhara7

>誤った定義
充分にあり得ます。先ほどいった通り、定義というのは理論の最小構成単位です。なのでもし「定義」だった筈のモノが別の理論などに分解出来てしまえば、それは最小構成単位では無くなるので定義ではなくなります。

誰も皆「これは定義だ！」として発表する時は色々調べた後に発表するので「誤った定義」というよりは「誤っていた定義」というのが正しい言い方ですね。

お礼

ご丁寧なご説明をありがとうございました。定義の内容が誤っているのは論外なわけですね。ご説明を元に勉強させていただきます。