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三次方程式の一般解
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2次方程式x^2+ax+b=0の2つの解をα、β(α<β)とするとき、α+β、α-βを2つの解とする2次方程式の1つがx^2+bx+a=0である。このとき、定数a、bの値を求めよ。ただし、b≠0とする。 ―――――――――― 解と係数の関係より α+β=-a・・・・(1) αβ=b・・・・・・(2) またx^2+bx+a=0の2解がα+β、α-βであるから 解と係数の関係より (α+β)+(α-β)=-b (α+β)(α-β)=a ―――――――――― ここまでは考えたのですが、この後どうしたらいいのかわからず悩んでいます。 よろしくお願いします。
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xの3次方程式 ax^3+bx^2+cx+d=0 の3つの解α、β、γとするとき解と係数の関係を書き、それを証明せよ。 というもんだいがあるのですが 解答をみると まず解と係数の関係を記す。 つぎに証明に入り 因数定理でa(x-α)(x-β)(x-γ)としてこれを展開して 恒等式として係数比較して。。。。。というながれがかいてあるのですが 私は解答の方法を思いつけず、 まず解と係数の関係を記す。 α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a これを変形して b=-a(α+β+γ) c=a(αβ+βγ+γα) d=-aαβγ としてはじめの3次方程式へ代入 ax^3-a(α+β+γ)+a(αβ+βγ+γα)-aαβγ=0 ここでx=α、β、γ を代入すると左辺=0=右辺となりこの方程式の解は x=α、β、γとわかる またこの方程式は3次方程式なので解の個数は高々3つ よってこの方程式の解はα、β、γのみ というふうに書いたのですがどうなんでしょうか? この問題は解がα、β、γならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a が成立 をしめすべきなのですが わたしの解答では α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a ならば 解はα、β、γ を示してしまっていると思います しかし「解がα、β、γのみ」と書いたので 解がα、β、γのならば α+β+γ=-b/a αβ+βγ+γα=c/a αβγ=-d/a という逆も示せているのではないかとも思います 自分ではよくわかりませんのでどなたか教えていただきませんか?
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