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代数に関する問題です(大学レベル)

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お礼率 18% (10/53)

まず記号の説明ですが、
SLn(K)はdet=1となるようなn×n行列全体
Zを整数全体
Z/NZをZをNZで割った剰余類とします

問題
Nを自然数とする
SL2(Z)からSL2(Z/NZ)への写像を
____a__b____________a+NZ__b+NZ
(_________)_→_(_________________) と定めたとき
____c__d____________c+NZ__d+NZ

この写像が全射になることを示せ。

というものです。
ユークリッドの互除法を使うようですがなかなか解けません。
ヒントになるようなことでも結構ですから
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回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

まず、(a)でZ/NZの代表元を表す、すなわち(a)=a+NZとします。 また、2×2行列を ((1,1)成分,(1,2)成分,(2,1)成分,(2,2)成分) で表すことにします。例えば単位行列は(1,0,0,1)です。 ((a),(b),(c),(d))∈SL2(Z/NZ) をとると ad-bc=kN+1 (kは整数) ・・・・・・(*) となっているわけですが、示すべきことは 「 ...続きを読む
まず、(a)でZ/NZの代表元を表す、すなわち(a)=a+NZとします。
また、2×2行列を
((1,1)成分,(1,2)成分,(2,1)成分,(2,2)成分)
で表すことにします。例えば単位行列は(1,0,0,1)です。

((a),(b),(c),(d))∈SL2(Z/NZ) をとると
ad-bc=kN+1 (kは整数) ・・・・・・(*)
となっているわけですが、示すべきことは
「a,b,c,dを同じ剰余類の中でうまく取り直すと
(すなわち、たとえばaをa+3Nに変えるとか)
(そして取り直したものをa',b',c',d'と書くことにすると)
a'd'-b'c'=1
にすることができる」ということですね。

さてdとcは互いに素です。
(そうでないと(*)に矛盾します)
Ad-Bc=1 を満たすA∈(a),B∈(b) が存在する
ということを示せば十分ですね。
ところで
dx-cy=1 を満たす整数x,yはdとcが互いに素なので無数に存在しますが
xはc個おきに、yはd個おきに現れることは分かるでしょうか。
このことが分かれば、あとはcとdとNが互いに素であることから
Ad-Bc=1 を満たすA∈(a),B∈(b) が存在する
ことが言えます。

分かりにくい説明ですみません。質問があれば遠慮なくどうぞ。
補足コメント
hismix

お礼率 18% (10/53)

回答ありがとうございます!!本当にうれしいです。
1つ間違いがあったので恐縮ながら質問させていただきます
回答の上から8行目からの「」内は名言。まさにその通りです!
間違いは回答の13行目
「dとcは互いに素」というところにあります。
これは一般には言えないと思います。
例えば、a=5,b=2,c=6,d=4,k=1,N=7のとき(c,d)=2となって
互いに素にはなりません。
だから問題は(c,d)=m>1、つまりcとdの最小公倍数がmのときだと思います。
syusyouさん!また回答をまってます!!
投稿日時 - 2001-10-26 16:45:41


  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

なるほど、鋭い! またポカをやってしまったかと一瞬ひやっとしました。 しかしご安心を。修正できそうです。 私の回答の「dとcは互いに素です」を 「dとcは互いに素にすることができる」 に変えさせてください。 どういうことかというと、hismixさんの例でいうと a=5,b=2,c=6,d=4,N=7 のdを11に変えてしまえばいいのです。 そうすれば、(c,d)=1になってくれます。 ...続きを読む
なるほど、鋭い!
またポカをやってしまったかと一瞬ひやっとしました。
しかしご安心を。修正できそうです。

私の回答の「dとcは互いに素です」を
「dとcは互いに素にすることができる」
に変えさせてください。
どういうことかというと、hismixさんの例でいうと
a=5,b=2,c=6,d=4,N=7
のdを11に変えてしまえばいいのです。
そうすれば、(c,d)=1になってくれます。
どうしてこんなことをしていいのかというと
mod 7で考えているのですから
SL2(Z/7Z)∋((5),(2),(6),(4))=((5),(2),(6),(11))
だからです。
分かりましたでしょうか。

なお、この例の場合
(5,9,6,11)→((5),(2),(6),(11))
となります。
補足コメント
hismix

お礼率 18% (10/53)

syusyouさんまたご回答してくれてありがとうございます。
今度は「dとcは互いに素にすることができる」ということですが
今の例では確かにdをずらせば、互いに素になることがわかりました。
けどこれを一般的に証明しなくてはいけないと思うのですが・・(困)
投稿日時 - 2001-10-28 10:05:31
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 51% (16/31)

No.2を書いたときは、cとdを互いに素にできることは 一般的にもまあ楽に示せるんだろうなあ、とか 無責任にも思っていたのですが、 いざ証明しようとなるとなかなかできないでいます。 cとdを互いに素にできない、と仮定すると 任意の整数u,vについて (c+uN,d+vN)>1  となるわけですが このままでは考えづらいのでu=0として 「任意の整数vについて(c,d+vN)&g ...続きを読む
No.2を書いたときは、cとdを互いに素にできることは
一般的にもまあ楽に示せるんだろうなあ、とか
無責任にも思っていたのですが、
いざ証明しようとなるとなかなかできないでいます。

cとdを互いに素にできない、と仮定すると
任意の整数u,vについて
(c+uN,d+vN)>1 
となるわけですが
このままでは考えづらいのでu=0として
「任意の整数vについて(c,d+vN)>1 」
と仮定して何か矛盾を出す、という方針で考えました。
(c,d,N)=1  であることを使ってすぐにできるんだろうな
と思っていたのですが・・・
((c,d,N)=1であることはNo.1の(*)から分かります。)

・・・困り度3なのに、申しわけないです。
補足コメント
hismix

お礼率 18% (10/53)

やっぱり難しいですよねっこれ!
syusyouさんが言うようにこの問題は次の問題と同値になりました。
「(c+uN,d+vN)=1を満たすような u,v∈Zが存在することを示せ」
さらにこの時満たしている条件は(c,d,N)=1.
背理法でも考えてみましたが、やっぱり上手くいきませんでした・・
困り度が上昇傾向になってきました(笑) 
とりあえず考えてる方向性に間違いが無いと思うことができたのが収穫かも・・
投稿日時 - 2001-10-31 19:16:09
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