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三角関数の問題を教えてください!

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  • 質問No.156333
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お礼率 66% (4/6)

角BAC=45°である△ABCにおいてAP=1、角BAP=15°を満たす辺BC上の点Pが存在するとき、次の問いに答えよ。

・角APC=θとするとき、θのとりうる値の範囲を答えよ。

・△ABCの面積をSとするとき1/Sをθを用いて表せ。   
・Sを最小にするθの値を求めよ。また、そのときのSの値を求めよ。


どれかひとつでもわかったら教えてください。お願いします!
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回答 (全6件)

  • 回答No.2

初めまして、blue_monkeyと言います。 以下の内容は読み捨ててください。 θの取りうる値は、0度から150度でしょうか? お猿さんの野生の感ですぅ~。 (ユークリッド空間でのお話です。) 後の問題は、teika氏とred_snake氏におまかせしますぅ~。 θの取りうる範囲についても間違いがありましたら、訂正お願いいたします。 ウソがありましたらゴメンナサイ。
初めまして、blue_monkeyと言います。
以下の内容は読み捨ててください。

θの取りうる値は、0度から150度でしょうか?
お猿さんの野生の感ですぅ~。
(ユークリッド空間でのお話です。)
後の問題は、teika氏とred_snake氏におまかせしますぅ~。
θの取りうる範囲についても間違いがありましたら、訂正お願いいたします。

ウソがありましたらゴメンナサイ。


  • 回答No.1
レベル8

ベストアンサー率 21% (14/65)

まだ詳しくは解いていないので、方針だけ。 角度をθを使って全て表示できます。そうしたら正弦定理、余弦定理を使ってθだけの式をつくります。 それが出れば全て出来ます。 ちなみにAP=1は正弦定理が2つ成り立ちます。そして、2辺が出れば余弦定理に持ち込めます。 ...続きを読む
まだ詳しくは解いていないので、方針だけ。
角度をθを使って全て表示できます。そうしたら正弦定理、余弦定理を使ってθだけの式をつくります。
それが出れば全て出来ます。
ちなみにAP=1は正弦定理が2つ成り立ちます。そして、2辺が出れば余弦定理に持ち込めます。
お礼コメント
teika

お礼率 66% (4/6)

ありがとうございます!!
参考にしてやってみます!
投稿日時 - 2001-10-24 06:38:10
  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 35% (10/28)

(1)15°<θ<150° (2)1/S={(2√3+2)sin^2θ+(2√3-2)sinθcosθ-√3+1}/2sin^2θ (3)面倒で~す。ぼちぼちやりま~す。 (1)は図かいてBCがACと平行になっちゃうときθ=150°,ABと平行になっちゃうときθ=15°です。 (2)正弦定理でAB,ACをθ及びAP(=1)で表し、S=(AB・ACsinA)/2で出したつもり (3 ...続きを読む
(1)15°<θ<150°
(2)1/S={(2√3+2)sin^2θ+(2√3-2)sinθcosθ-√3+1}/2sin^2θ
(3)面倒で~す。ぼちぼちやりま~す。

(1)は図かいてBCがACと平行になっちゃうときθ=150°,ABと平行になっちゃうときθ=15°です。
(2)正弦定理でAB,ACをθ及びAP(=1)で表し、S=(AB・ACsinA)/2で出したつもり
(3)うまいやり方ある?

てな感じで♪
お礼コメント
teika

お礼率 66% (4/6)

ありがとうございます!参考になりました!!
投稿日時 - 2001-10-26 22:12:17
  • 回答No.4

blue_monkeyです。 確かに、miku0004氏の回答通り、θは15~150度です。 アホなアドバスをしてしまい申し訳ありませんでした。 ゴメンナサイ。 ...続きを読む
blue_monkeyです。
確かに、miku0004氏の回答通り、θは15~150度です。
アホなアドバスをしてしまい申し訳ありませんでした。
ゴメンナサイ。
お礼コメント
teika

お礼率 66% (4/6)

いえいえ!どうもありがとうございました!!
投稿日時 - 2001-10-26 22:13:27
  • 回答No.5
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

(3)について、問題の趣旨とは違うと思いますが、座標設定で微分しても解けます。 すなわちAを原点、P(sqrt(3)/2,1/2),C(c,0), AB:y=xとしてBの座標とSをcを用いて表す。 このとき、c>(sqrt(3)-1)/2であるから(θの範囲の求め方と同じ考え)、 がちゃがちゃ計算するとSを最小とするのはc=sqrt(3)-1のときとなる。 PからACにおろした垂線をHと ...続きを読む
(3)について、問題の趣旨とは違うと思いますが、座標設定で微分しても解けます。

すなわちAを原点、P(sqrt(3)/2,1/2),C(c,0), AB:y=xとしてBの座標とSをcを用いて表す。
このとき、c>(sqrt(3)-1)/2であるから(θの範囲の求め方と同じ考え)、
がちゃがちゃ計算するとSを最小とするのはc=sqrt(3)-1のときとなる。
PからACにおろした垂線をHとすると、CはHよりもA寄りにあって、tan(角CPH)=2-sqrt(3)より角CPH=15度(15度の直角三角形の辺の比として4:{sqrt(6)+sqrt(2)}:{sqrt(6)-sqrt(2)}は覚えておいた方がいいと思います)
よって、θ=45度、S={sqrt(3)-1}/4(終)

三角関数を使って計算しても綺麗になるのかなぁ?そっちは難しそうなのでやってないです。ごめんなさい。
お礼コメント
teika

お礼率 66% (4/6)

ありがとうございます!
投稿日時 - 2001-10-29 20:33:01
  • 回答No.6
レベル6

ベストアンサー率 100% (4/4)

(1) θのとりうる範囲は 15°<θ<150° です。これは、△ABCが3角形 として形成できる範囲として決まります。 (2) △ABCの面積Sは、△APCの面積S1と△ABPの面積S2の和になります。すなわち     S=S1+S2   です。そして、正弦定理から、     AC=sinθ/sin(θ+30°)   となります。したがって、AP=1 を考慮すると     S1=(1/2 ...続きを読む
(1) θのとりうる範囲は 15°<θ<150° です。これは、△ABCが3角形 として形成できる範囲として決まります。

(2) △ABCの面積Sは、△APCの面積S1と△ABPの面積S2の和になります。すなわち
    S=S1+S2
  です。そして、正弦定理から、
    AC=sinθ/sin(θ+30°)
  となります。したがって、AP=1 を考慮すると
    S1=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°)
  となる。同様にして
    AB=sinθ/sin(θ-15°)
    S2=(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°)
  となる。したがってSは
  S=(1/2)sinθ sin30°/sin(θ+30°)+(1/2)sinθ sin15°/sin(θ-15°)
   =sin45°(sinθ)^2/{2sin(θ+30°)sin(θ-15°)}
  となり、1/Sは
    1/S=2sin(θ+30°)sin(θ-15°)/{sin45°(sinθ)^2}
  となる。

(3)Sを最小にする(したがって1/Sを最大にする)θを求めるスマートな方法が私には見つからない。そこで、かなり煩雑になるが、次のように正攻法で扱ってみる。
  まず、1/Sのθに対する微分を0にする(これは連続な関数が最大値をとるための必要条件である)ようなθを求める。次に、このθで1/Sが最大になることを確認する。さらにこの値をSの式に代入してSの最小値を求める。
d(1/S)/dθ=(2/sin45°)[{sin(θ+30°)cos(θ-15°)+cos(θ+30°)sin(θ-15°)}
×(sinθ)^2-2sinθcosθsin(θ+30°)sin(θ-15°)]/(sinθ)^4=0
  これが成立するためには、[ ]内の式が0であることが必要十分である。
  [ ]内の式の両辺を適当にわり算して、整理し、次の式を得る。
    {1/tan(θ-15°)+ 1/tan(θ+30°)}tanθ-2=0
  これに、加法定理を用いて展開し、整理すると次の式を得る。
   (1+(tanθ)^2){(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°} =0
  この式で、最初の因数は常に正であるから、結局、{ }内が0ということになる。すなわち、
    (tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°=0
  これからθを求めると、
    tanθ=2tan15°tan30°/(tan30°-tan15°)=1
    ∴ θ=45° (θのとりうる範囲を考慮してある)
  なお、この計算には、次の値を利用した。これは公式集などにも出ているし、2倍角の公式などを用いて導くこともできる。
    tan15°=2-√3, tan30°=√3/3
  このθのとき、Sが(最小値などでなく)最大値をとることは、幾何学的考察からわかる。(詳細な説明は省略)
  次に、面積Sの式に θ=45°を代入すると、面積の最大値は次のようになる。
   S=(sin45°)^3/{2sin75°sin30°}=(sin45°)^3/{2cos15°sin30°}
    =(1/√2)^3/{2×(√6+√2)/4×(1/2)}=1/(1+√3)=(√3-1)/2
  ここで、次の値を使用しています。
    cos15°= (√6+√2)/4
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