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三角形の問題です

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  • 質問No.151795
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お礼率 86% (456/526)

「∠C=90 である三角形ABCにおいて、辺AC上にAD=2CDである点Dをとる。∠ABD=θとおくとき、DC/BC をtとおくときcosθをtの式で表せ。」という問題なのですが、解答ではBCをaとおくと、DC=atとなり、△DBCに三平方の定理を用いると、BDがtとaの式で表せる。またAD=2CDより、AC=3t/2 となり、今度は△ABCに三平方の定理を用いると、ABがtとaの式で表せる。また、AD=2CDより、AD=t/2 となり、△ABDのすべての辺の情報が出そろったから余弦定理を用いると、cosθをtの式で表せる。となっています。

わからないのは、初めにBC=aというふうに置くことと、△ABDに余弦定理を用いたときにaが消えることです。解答では、「三角比だからaは消える」と書かれてありましたが意味がわかりません。よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 44% (89/202)

先ず簡単にする為にBC=1の場合を考えてみましょう。
CDを底辺に置くと底辺の長さt、高さ1の直角三角形BCDが出来ますね。
次に辺CDを延長してその延長線上にCD:DA=1:2となる点Aを決めます。
ここで出来た∠ABD(=θ)が、tだけで決まることは分りますか?
質問中の問題はこの図形をa倍に拡大して、一般性を持たしただけの相似形ですので、θはaに依存しないこと解ります。
これで納得いきますでしょうか?
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>CDを底辺に置くと底辺の長さt、高さ1の直角三角形BCDが出来ますね。

ご回答ありがとうございます。DC/BCという式の形からtanがからむ問題だとおもって素直にBCをaとおけませんでした。

>ここで出来た∠ABD(=θ)が、tだけで決まることは分りますか?
質問中の問題はこの図形をa倍に拡大して、一般性を持たしただけの相似形ですので、θはaに依存しないこと解ります。
これで納得いきますでしょうか?

なるほど、納得できました。そうだったんですね。わかりやすい解説どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-16 02:19:53
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  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

#1のZincerさんのアドバイスとまったく同じことなんですけど。 問題の条件式より、AD:CD=2:1, DC:BC=t:1であることが与えられているので、 AD:DC:CB=2t:t:1であることが直ちにわかります。 これによって、BCを適当に文字でおくという発想が生まれてきます。(比は具体化せよ!) aが消えるのは、まさにZincerさんのおっしゃるとおりで、三角比は所詮直角三角形の ...続きを読む
#1のZincerさんのアドバイスとまったく同じことなんですけど。

問題の条件式より、AD:CD=2:1, DC:BC=t:1であることが与えられているので、
AD:DC:CB=2t:t:1であることが直ちにわかります。
これによって、BCを適当に文字でおくという発想が生まれてきます。(比は具体化せよ!)

aが消えるのは、まさにZincerさんのおっしゃるとおりで、三角比は所詮直角三角形の2辺の比だから約分される、ということです。

#ちなみに余弦定理など使わなくても、DからABに垂線DHをおろしてしまえば、中学校の練習問題になってしまいます。余力があればこちらの解法もどうぞ。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>問題の条件式より、AD:CD=2:1, DC:BC=t:1であることが与えられているので、
AD:DC:CB=2t:t:1であることが直ちにわかります。
これによって、BCを適当に文字でおくという発想が生まれてきます。(比は具体化せよ!)

お返事ありがとうございます。DC:BC=t:1という見方ができれば良かったんですね。変なところでtanの話かなと考え込んでつまづいていてしまいました。

>三角比は所詮直角三角形の2辺の比だから約分される、ということです。

すいません、おたずねしたいのですが、今回のθは直角三角形でないと思うので、その場合で考えてみたいのですが、普通の三角形からcosの求める式にはa,b,cという3つの辺が登場してきますよね。それに対してベクトルからcosを求めるときにはcosθ=|→a||→b| / →a・→b に見られるように2つの辺しか登場してきませんよね。これはどういうことなのでしょうか。ベクトルは3つ目の辺を無視できるのになぜうえの三角形のcos公式ではできないのでしょうか。
投稿日時 - 2001-10-16 02:29:37
  • 回答No.3
レベル7

ベストアンサー率 25% (3/12)

 1年生ですか?無理に三角比で解く必要もないと思いますが、まぁ三角比でやってみましょう。  解〕まず、AD=2CDという式を言葉に直せば、「DはACの中点」になります。これよりCD=AD=at。△BCDにピタゴラスの定理を用いて、BD^2=a^2(1+t^2)。(←これはBDに直さない方がいいです。あとでどうせ余弦使って2乗することになるから。)  また、△ABCにピタゴラスの定理を用いて、BA^ ...続きを読む
 1年生ですか?無理に三角比で解く必要もないと思いますが、まぁ三角比でやってみましょう。

 解〕まず、AD=2CDという式を言葉に直せば、「DはACの中点」になります。これよりCD=AD=at。△BCDにピタゴラスの定理を用いて、BD^2=a^2(1+t^2)。(←これはBDに直さない方がいいです。あとでどうせ余弦使って2乗することになるから。)
 また、△ABCにピタゴラスの定理を用いて、BA^2=a^2(1+4t^2)。(←これも直さない方がいい。) △ABDの全ての辺がaとtで表せたので、余弦定理を適用してcosθ=(2t^2+1)/{2√(1+t^2)√(1+4t^2} (←a、消えてますね。)

  ちょっと計算に自信がないですが、方針はこれでいいと思います。で、質問の“BC=aと置くこと”ですが、ちょっと考えてみるとすぐに分かります。だってcosって、そもそも三角形の辺の“比”を表すわけですから、BCの長さなんていくらでもいいわけです。BC=1だろうとBC=100だろうと、題意のcosの値は変わりません。“比”なんだから。
 ということは、問題を見た瞬間に“あ、このcosはtの関数になるな。BCの長さによらないな。”と分かるわけです。だから、BC=aと置いても差し支えないわけで、さらに言えば、BC=1と置いても一般性を失いません。BC=100と置いても、BC=9999と置いても。

 ってことで、大事なのは“cosは比だぞ”と。“辺の長さによらないぞ”と。答えがずいぶん複雑になったので、計算が違うかも知れません・・・。 
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

>1年生ですか?無理に三角比で解く必要もないと思いますが、まぁ三角比でやってみましょう。

すいません、3年生です(^^)三角比ですぐに解決してしまう体質がついているようです。

>問題を見た瞬間に“あ、このcosはtの関数になるな。BCの長さによらないな。”と分かるわけです。

なるほど、そう気づかないと行けないんですね。初めから消えるとわかっていないとおけませんよね。2乗をそのまま残して計算するところなども大変参考になりました。

>ってことで、大事なのは“cosは比だぞ”と。“辺の長さによらないぞ”

今まで、ほとんど意識していませんでした。うーんもう一回原点に戻って教科書を眺めてみたいと思います。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-16 02:35:29
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

#2のお礼について。出勤前なのでひとことだけですが。 △OABで→OA=→a, →OB=→bとおくと、3つめの辺→AB=→b-→aと、2つのベクトルの差であらわせるからです。決して無視してるわけではなさそうですよ。 ...続きを読む
#2のお礼について。出勤前なのでひとことだけですが。

△OABで→OA=→a, →OB=→bとおくと、3つめの辺→AB=→b-→aと、2つのベクトルの差であらわせるからです。決して無視してるわけではなさそうですよ。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

なるほど、そうだったんですね。喉につっかえてた小骨がとれたようなすっきりした気分です。どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-17 05:35:15
  • 回答No.5
レベル14

ベストアンサー率 37% (1123/2963)

#3のCake0530様へ。 つまらないつっこみで恐縮ですが。 『まず、AD=2CDという式を言葉に直せば、「DはACの中点」になります。これよりCD=AD=at。』これ間違いです。 AD=2CDなのにCD=ADって矛盾してますよね。以下の考え方自体は問題ないと思いますが。 正しくは、CD=at,AD=2at かな。 以上、気になったもので…。 ...続きを読む
#3のCake0530様へ。
つまらないつっこみで恐縮ですが。
『まず、AD=2CDという式を言葉に直せば、「DはACの中点」になります。これよりCD=AD=at。』これ間違いです。
AD=2CDなのにCD=ADって矛盾してますよね。以下の考え方自体は問題ないと思いますが。
正しくは、CD=at,AD=2at かな。
以上、気になったもので…。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

補足していただいてどうもありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-17 05:38:05
  • 回答No.6
レベル7

ベストアンサー率 25% (3/12)

↓>hinebotさん     すんません・・・。   馬鹿がバレるぅぅぅぅぅうぅ。
↓>hinebotさん
 
  すんません・・・。

  馬鹿がバレるぅぅぅぅぅうぅ。
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