自由エネルギーと平衡定数について

質問

以前こちらで

ΔG=ΔGo＋RT・In[AB]/[A][B]

の式について教えて頂き、大変お世話になった者です。その後、ちょっとした例題のようなものにつまずきまして、色々考えても答えが出ないもので困りましたので、今回も恥ずかしながら質問させていただきます。例題の概要を下に書かせてもらいます。

平衡定数K=[AB]/[A][B]・・・ 10^10 → 10^8 (l/mol)
反応・生成のエネルギー差・・－14.2 → －11.4
(kcal/mol)

という関係の上で、A分子、B分子ともに1000個（粒子）であり、細胞内でともに10^－9モルの濃度の時、
それぞれの粒子数は次のようになると書いてあります。（なお、10^－9は「10のマイナス9乗」のつもりです。書けなかったので、ご理解下さい。）

k=10^10のとき・・・A分子 : B分子 : AB分子
　　　　　　　　= 270 : 270 : 730

k=10^8のとき・・・ A分子 : B分子 : AB分子

= 915 : 915 : 85

このように書かれて例題は終了しているのですが、
このような分子数がどのように算出されたのかまだ、
理解できずにいます。題意としては、エネルギーの差が大きな濃度差となることを示したいようなのですが、計算過程が見えないもので、頭の回転の遅い私はつまずいてしまいました。

長くなって申し訳ありません。お時間に余裕のある方ぜひお教え下さい。最後までお読みいただき、本当にありがとうございます。

回答No.2

Chang-gu · ベストアンサー

反応　A+B =AB, 平衡定数　K=[AB]/[A][B]
細胞内でのA, Bのモル数はともに10^(-9).

いまA, Bのそれぞれx割が反応してABになったとします。
残存するAのモル数は10^(-9)*(1-n)
残存するBのモル数も10^(-9)*(1-n)
生成したABのモル数は10^(-9)*n
K=10^8の場合：　10^8=n/(1-n)^2*10^(-9)
n=0.1*(1-n)^2
この２次方程式の解をプログラム計算で求めると、n=0.085が得られます。
従って、仮にA=1000個,B=1000個とすると、
85個のAB分子が生成され、1000-85=915個のA原子と1000-85=915個のB原子が
残存していることになります。

ご参考まで。

お礼

ご回答大変に感謝します。的確かつ分かりやすいご回答で、とても参考になりました。式はさすがでございますね。解は教えて頂いた式から手計算で算出できました。自分は化学や数式から遠い人間なんだなぁと実感しておりますが、これからも何かの機会で質問がお目に留まりましたら、よろしくお願いします。

回答No.1

noname#160321

>>k=10^10のとき・・・A分子 : B分子 : AB分子= 270 : 270 : 730
>>k=10^8のとき・・・ A分子 : B分子 : AB分子= 915 : 915 : 85

単純です。
まず、ＡもＢも1000個あるのでＡ=Ｂ=1000-ＡＢ
となり、
上の例では730÷270÷270=0.01
下の例では85÷915÷915=0.0001
で1/100の変化
これが10^10　と　10^8　に対応しています。

なおmol/Lと「分子の個数/細胞の体積」は比例しているので、molに直す必要はないのです。

お礼

さっそくのご回答ありがとうございます。
対応関係については、ご指摘のとおり理解できました。今後とも何かありましたらよろしくお願いします。