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数(3)です
ｆ(x)＝cos2x＋２√３×sinx＋２について、次の問いに答えよ （１） ０≦ｘ≦πにおけるｆ(x)の最大値および最小値をもとめよ っていう問題で増減表と書こうとおもったんですが ｆ´(x)の符号がわかりませんどうかご教授おねがいします
- ryuusennsisho
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どうしても微分で解かなきゃ駄目なんですか？ 問題を見た瞬間、ｃｏｓ2ｘ＝１－２（ｓｉｎｘ）＾2として二次関数の問題に帰着させられそうだと思ったんですが・・・。そっちのほうが簡単そうだし。 解〕 ｆ（ｘ）＝－２（ｓｉｎｘ）＾2＋２√３ｓｉｎｘ＋３ ここでｓｉｎｘ＝ｔと置けば、０～πにおいて０≦ｔ≦１。 ｆ（ｘ）＝－２ｔ＾2＋２√３ｔ＋３＝－２（ｔ＾2－√３ｔ）＋３＝－２（ｔ－√３／２）＾2＋９／２ よって、ｔ＝√３／２（ｘ＝π／３、２π／３）のとき最大値：９／２。 ｔ＝０（ｘ＝０、π）のとき最小値：３。 〔答〕 （計算自信ないです。）
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- red_snake
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私は複雑な正負の判断には数直線のような感じで考えます。 cosｘは０≦ｘ≦π/２で正、０≦ｘ≦πで負。 √3/2 - sin(x) は０≦ｘ≦π/３、２π/３≦ｘ≦πで正、π/３≦ｘ≦２π/３で負。 これを、横棒の上に符号変化の点を書きます。そしてそのときの符号が分かるように区間を作ります。上にはcosｘの正負、下には√3/2 - sin(x) の正負。 これを見て見ると、+、-、+、-の順に変化しています。 分からなくなったとき数直線を書いて正負を調べる方法は有効です。
お礼
あっその方法いいですね！ わかりやすいです！ ご回答ありがとうございました～！
- oodaiko
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ではもう少し先まで解説しましょう。 たしかに(1)式のグラフを書くのはちょっと面倒ですが この場合は増減表を書くのが目的なので(1)式が正になる区間,負になる区間 が分ればそれでよいですね。 とにかく(1)式が0になるようなxは０≦ｘ≦πでは x=π/3,π/2,2π/3 の３つです。 そこで ０≦ｘ＜π/３,π/３＜ｘ＜π/２,π/２＜ｘ＜２π/３,２π/３＜ｘ＜π の４つの各区間において(1)式を構成する２つの関数 cos(x)と √3/2 - sin(x) の符号がどうなっているか 考えてみましょう。それが分れば各区間で(1)式の符号がどうなっているか すぐわかりますね。
お礼
なるほど～！ご説明ありがとございました～！ ご回答ありがとうございます！
- oodaiko
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ryuusennsishoさんこんばんは。 与えられた式を微分して f'(x)=-2sin(2x)+2√3 cos(x)……(1) を求めるところまでは出来たわけですね。 このままでは確かに符号は分りにくいですね。 こういうときは式を積の形に変形します。 (1)式は倍角の公式を使えば -4sin(x)cos(x) + 2√3cos(x)=4cos(x)(√3/2 - sin(x)) と変形できます。この式の値が0となるxはもちろん cos(x)=0 または √3/2 - sin(x) = 0 を満たすようなものです。(０≦ｘ≦πにおいては３個あります) それらのxの間で(1)式の符号がどうなるかということもすぐわかりますね。
補足
実はその後がわからないんです 例えば微分した式がｘ^２＋３ｘとかいうのだったらグラフかいて＋か－かわかるんですけどこの場合はどうすればいいんでしょうか？
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