OKWAVEのAI「あい」が美容・健康の悩みに最適な回答をご提案!
-PR-
解決
済み

円の接線が半径に対して垂直になることの証明

  • 困ってます
  • 質問No.150127
  • 閲覧数1714
  • ありがとう数9
  • 気になる数0
  • 回答数5
  • コメント数0

お礼率 47% (159/337)

円の接線が半径に対して垂直になるのはわかるんですけど
証明がいろいろ探してみたんですがどうしても見つかりません
誰か教えてください
通報する
  • 回答数5
  • 気になる
    質問をブックマークします。
    マイページでまとめて確認できます。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル8

ベストアンサー率 18% (9/50)

単純に考えてみました。
背理法を用いて、円の接線が半径に対して垂直じゃないものと仮定します。・・・(1)

円の中心をOとして、円周上の接点をAとして、Aでの接線をABとして、
OからABに下ろした垂線とABとの交点をCとします。
ここで垂線を引き、AとCが一致しないところに、(1)の仮定を使っています。
三角形OACを考えると、直角三角形の斜辺と他の一辺なので、OA>OC・・・(2)
円の定義を考えると、(2)より点Cは半径OAの円の内側にある。
よってACつまりABは接線ではない。・・・(3)

(3)は仮定に矛盾するので、(1)が誤っている。よって接線は半径に対して垂直である。

あれ?「接線」の定義が最後に(3)で必要となってしまいました。でも自明でしょうか..
数学的には厳密じゃないかもしれませんが、直感的にわかりやすいのではないかと思います。
お礼コメント
ryuta_mo

お礼率 47% (159/337)

わかりやすい説明でした
なぜ教科書に定理が載ってて証明がないのでしょう
やっと疑問が解けましたありがとうございます
投稿日時 - 2001-10-13 00:08:57
-PR-
-PR-

その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1

これって中3の教材だったのか!参考URLを載せますね。 私はすっかり「公理」だと思っていました。 ...続きを読む
これって中3の教材だったのか!参考URLを載せますね。
私はすっかり「公理」だと思っていました。


  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 33% (131/392)

あなたが、微分を学習しているなら、 2直線が直交する条件は m1*m2=-1 ですから、微係数から求めることが出来ます。 以上、ヒントのみ。 ...続きを読む
あなたが、微分を学習しているなら、
2直線が直交する条件は
m1*m2=-1
ですから、微係数から求めることが出来ます。
以上、ヒントのみ。
お礼コメント
ryuta_mo

お礼率 47% (159/337)

ごめんなさい全く微分とかわからないので何言ってるのかわかりません
回答していただいてありがとうおございます
投稿日時 - 2001-10-12 23:56:37
  • 回答No.3
レベル7

ベストアンサー率 25% (3/12)

 えぇっと、中学3年生の幾何のところで習う・・・なんていう定理だっけ。  ほら、接点から円の内部にむかって半直線を引くと、弦になりますよね?「その弦に対する円周角と、弦と接線が為す角は等しい」っていう定理があったと思います。その特別な場合として解釈できるかと。  円の中心を通る直線を引いたとき(直径でも同じこと)、その直線と円の2つの交点に対する円周角は90°であることは知っていると思います。で、 ...続きを読む
 えぇっと、中学3年生の幾何のところで習う・・・なんていう定理だっけ。
 ほら、接点から円の内部にむかって半直線を引くと、弦になりますよね?「その弦に対する円周角と、弦と接線が為す角は等しい」っていう定理があったと思います。その特別な場合として解釈できるかと。

 円の中心を通る直線を引いたとき(直径でも同じこと)、その直線と円の2つの交点に対する円周角は90°であることは知っていると思います。で、その直線と円の2つの交点(直径の両端でも同じ意味)のうちの1つ(どちらでもいいんですが)において接線を引くと、上の定理から“接線と、中心から接点に引いた半直線の為す角は90°”であることが分かります。

 グラフでなく言葉で説明したのでいささか煩雑ですが、この定理が一番はじめに証明できるようになるのは↑だと思います。brogieさんの仰る通り、微分法を使えばより簡単に証明できるのですが。
お礼コメント
ryuta_mo

お礼率 47% (159/337)

回答していた抱いてありがとうございます
ちょっと難しくてよくわかりませんでした
ごめんなさい私の勉強不足です
微分とか何なのかさっぱりわからないんで微分も使えない
投稿日時 - 2001-10-12 23:59:32
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

#3さんの解法について、納得はこれがいちばんいくと思うのですが、 一つ問題なのが、接弦定理を証明するのに、円の接線が半径に対して垂直になることを用いるような気がします。 背理法を使うこんな証明を見たことがあります。 1. 円O上に任意の点Aをとり、Aを通る円の接線をXYとする。(接線上で点Xと点Yの間にAがあるイメージです) 2. 円の接線が半径に対して垂直でないと仮定すると、角OAXまた ...続きを読む
#3さんの解法について、納得はこれがいちばんいくと思うのですが、
一つ問題なのが、接弦定理を証明するのに、円の接線が半径に対して垂直になることを用いるような気がします。

背理法を使うこんな証明を見たことがあります。

1. 円O上に任意の点Aをとり、Aを通る円の接線をXYとする。(接線上で点Xと点Yの間にAがあるイメージです)
2. 円の接線が半径に対して垂直でないと仮定すると、角OAXまたは角OAYのどちらかは90度未満である。(以下、角OAXが90度未満とします)
3. OからXYへ垂線をおろし、その足をHとする。2.の仮定より明らかにAとHは異なる点である。さらに、直線XY上で4点X,H,A,Yがこの順に並ぶ。
4-1. 点Aと直線OHに関して線対称な点をBとする。このとき、X,B,H,A,Yはこの順で並び、
4-2. AH垂直OHよりBはAHの延長上、すなわち直線XY上にある
4-3. 円は直径に対して線対称であるから、円周上の点Aを、円の直径OHに関して線対称に移動させた点Bは円周上にある。
4-4. 4-2,4-3より点Bは直線XYと円Oの交点であることが言える。
5. 即ち円Oと直線XYは、2点A,Bで交わることになる。これはXYが円Oの接線であることに矛盾する。
6. 従って、円の接線は半径に対して垂直である。(終)

はて、文字で伝わるかどうかと、この議論が正しいか、どちらも自身ないですが。
お礼コメント
ryuta_mo

お礼率 47% (159/337)

ありがとうございます
わかったような気がしました
とてもわかりやすい証明でした
とにかくあってるかを別にして何がいいたいのか良くわかりました
私が見た限りではあってるような気がしたんで
また数学の先生と話してみます
投稿日時 - 2001-10-13 00:03:02
このQ&Aで解決しましたか?
関連するQ&A
-PR-
-PR-
このQ&Aにこう思った!同じようなことあった!感想や体験を書こう
このQ&Aにはまだコメントがありません。
あなたの思ったこと、知っていることをここにコメントしてみましょう。

その他の関連するQ&A、テーマをキーワードで探す

キーワードでQ&A、テーマを検索する
-PR-
-PR-
-PR-

特集


いま みんなが気になるQ&A

関連するQ&A

-PR-

ピックアップ

-PR-
ページ先頭へ