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三次関数f(x)を求めてください

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二つの式を満足する三次関数を求めてください
lim{f(x)/(x-1)}=8 x→1
lim{f(x)/(x^2-1)}=2 x→-1

よろしくお願いします
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レベル14

ベストアンサー率 83% (1169/1405)

最初の式
lim(x→1){f(x)/(x-1)}=8  (1)
から、f(1)=0が結論されます。もしf(1)が0でないならば、上記の式の極限は発散してしまうからです。
これから直ちにf(x)は(x-1)を因数に持つことが分かります。

同様に次の式
lim(x→-1){f(x)/(x^2-1)}=2  (2)
より、f(-1)=0が導かれます。同様にf(x)は(x+1)も因数に持つことも言えます。

問題が与えている条件からf(x)はxの3次式ですから、これまでに判明した二つの因数を使って
f(x)=(x+1)(x-1)(ax+b)  (3)
と置くことができます。a, bは未知の定数です。

(3)を改めて(1)に代入すると
(1+1)(a+b)=8
であることが分かります。
また(3)を(2)に代入すると
-a+b=2
であることも分かります。この先は簡単な連立方程式の問題に過ぎず、たやすくa=1, b=3と求められます。

(計算ちがいをしているかも知れません、念のため各式をチェックしながら読んでください)
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