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三角関数の合成

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私は数学のド素人でして、基本的な(?)三角関数の問題で悩んでおります。

y1 = A1 * sin(x - α1)
y2 = A2 * sin(x - α2)

とおいたとき、

y = y1 + y2 = A * sin(x - α)

の A および α を、それぞれA1、A2、α1、α2を用いて表すことを考えております。もし分かれば解法も教えていただきたいと思いますが、表記が煩雑な場合や、公式などで解のみをご存知の場合、解のみの回答でも構いません。

どうかよろしくお願いいたします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

少し大変ですが次のように出来ます。

y = y1 + y2
 = A1*sin(x - α1) + A2*sin(x - α2)
 = A1*{sin(x)cos(α1)-cos(x)sin(α1)} + A2*{sin(x)cos(α2)-cos(x)sin(α2)}
 = {A1*cos(α1)+A2*cos(α2)}*sin(x) - {A1*sin(α1)+A2*sin(α2)}*cos(x)

ここで、
 B1 = A1*cos(α1)+A2*cos(α2)
 B2 = A1*sin(α1)+A2*sin(α2)
とおきます。


(1) B1 = 0 の場合
 y = -B1*cos(x)
  = B1*sin(x-π/2)
  = {A1*cos(α1)+A2*cos(α2)}*sin(x-π/2)

(2) B1 ≠ 0 の場合
 y = B1*sin(x) - B2*cos(x)
  = √(B1^2 + B2^2) * sin(x-α)
  = √(A1^2 + A2^2 + 2*A1*A2*cos(α1-α2) ) * sin(x-α)
 ただし、
  tanα = B2/B1

ということになります。
お礼コメント
38endoh

お礼率 72% (173/238)

式の導出までしていただき,大変ありがとうございました。非常に参考になりました。
投稿日時 - 2001-10-06 11:07:57
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  • 回答No.1
レベル14

ベストアンサー率 30% (2593/8599)

2つの方法があります。 (1)sinの和・差の公式を使う。    sin(A+B)=sinA・cosB+cosA・sinB    sin(A-B)=sinA・cosB-cosA・sinB   これを使って式を整理整頓する。 (2)正確ではないですが図式解法    v1とv2をグラフ用紙上でベクトル合成してAとαを求める。 ...続きを読む
2つの方法があります。
(1)sinの和・差の公式を使う。
   sin(A+B)=sinA・cosB+cosA・sinB
   sin(A-B)=sinA・cosB-cosA・sinB
  これを使って式を整理整頓する。

(2)正確ではないですが図式解法
   v1とv2をグラフ用紙上でベクトル合成してAとαを求める。
お礼コメント
38endoh

お礼率 72% (173/238)

早速のご回答,大変ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-06 11:09:17

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