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僕も不等式の証明

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  • 質問No.144799
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お礼率 33% (2/6)

aもbも正の整数とする。√2はa/bとa+2b/a+bの間にあることを示せ。という問題です。お願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

a/b=tと置くと問題文は次のように言い換えられる。
tを正の有理数とする。√2はtとt+2/t+1の間にあることを示せ。
<解の方針>
(1)√2<tならばt+2/t+1<√2
(2)0<t<√2ならば√2<t+2/t+1
を示すだけ。あとはt=a/bに戻せばよい。

<解>分数関数で考えれば簡単だがここは分母を払おう。
まず(1)を考えよう。
√2<tならばt+2/t+1<√2…(1)
⇔√2<tならばt+2<√2(t+1)…(1)'(∵√2<t)であるから(1)'を証明すればよい。
右辺-左辺=Pとすると、
P=√2(t+1)-(t+2)=(t+1)(√2-1)-1>0(∵√2<t)
よって、P>0より(1)'は成立。よって(1)も成立。

(2)はご自分でおやり下さい。
さて、t=a/bとして題意成立。

<考察>
大学への数学での解はなんというかへんてこな解ですね。ここで与式が変数a/bで表わせられることに気づけばもう終わったも同然。普通2変数で表わされる式はなんとか1変数に直して考えるというのが基本です。それができなきゃ順次変化させればよい。東大でも過去にこういう発想が出来ていれば簡単になる問題を出しています。(2)もこの考え方でやるとめちゃ簡単ですよ。
お礼コメント
s-yousuke

お礼率 33% (2/6)

とても助かりました。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-10-03 06:37:15
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

a,bがうるさい。そこでa/b=tとおくと…。 ...続きを読む
a,bがうるさい。そこでa/b=tとおくと…。
補足コメント
s-yousuke

お礼率 33% (2/6)

すいません、tとおいてもよくわからないのでもう少し詳しく教えてください。
投稿日時 - 2001-10-02 22:29:11


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