直線の方程式

質問

x－y＋1＝0に関して直線2x＋y－2＝0と対称な直線の方程式は？
というのが問題で、中点の条件と、傾き(垂直)から、2x＋y－2＝0の動点を求めれるのですが、その後どうすればよいかわかりません、御教授お願いします。

回答No.4

grasshopper59 · ベストアンサー

直線2x＋y－2＝0上の点Aの座標を(X,Y)、x－y＋1＝0対して、この点A(X,Y)と対称な点、
つまり求める直線上の点Bの座標をを(x,y)とします。
すると、線分ABの中点((X＋x)/2,(Y＋y)/2)は
x－y＋1＝0上にあるので(X＋x)/2－(Y＋y)/2＋1＝0
を満たします。
また、直線ABの傾きはx－y＋1＝0と直行するから－1となるので
(Y－y)/(X－x)＝－1となります。
あとは、2X＋Y－2＝0が成り立つことを用いて
XとYを消去してください。
そうすれば出ると思います。

お礼

皆さんありがとうございました。

回答No.3

poporori

まず2X+Y-2=0の直線上で適当に2点を確定させます。例えば適当にX=1を当てはめます。そうするとY=0になりますよね？その要領でここでは例としてその2点をa（1,0）、b（0,2）を使います。（*（X,Y）とする）

次にX-Y+1=0のグラフ（簡単なもの）を書き、そのグラフ上で定めた2点と対称となる点を導く。例でだしたものだとaの対称点は（2,2）、bの対称点は（0,0）となります。

その対称点2点がわかったのなら後は連立方程式で直線のグラフを出してみてください。そのグラフが対称な直線の方程式です。

なかなか回りくどい答えの出し方ですが、公式をあまり使わずに答えが出せるのが利点です（^^）

回答No.2

OGUMAN

自分ならこう解きますね
まず交点を求める。求める直線もこれを通る。

で直線(傾きm)と直線(傾きＭ)のなす角θに関する公式
tanθ＝[(m-M)/(1+m*M)] ( [ ]は絶対値)
を使います。θは鋭角ね。詳しくは教科書を見て下さい。

直線x－y＋1＝0と直線2x＋y－2＝0のなす角をφとしたら、求める直線と直線x－y＋1＝0のなす角もφですね。
これで求める直線の傾きが分かりますね。

補足

すいません、いい忘れてたのですが、
点と直線の範囲の知識の範囲でお願いします。

回答No.1

springside

直線2x+y-2=0上の点を(t,-2t+2)とおき、求める直線上の点を(α,β)とおく。

上記の２点の中点((t+α)/2,(-2t+2+β)/2)が直線x-y+1=0上にあるから、
(t+α)/2-(-2t+2+β)/2+1=0
これを変形して、
t=1/3(β-α)・・・(1)

また、上記の２点を結ぶ直線の傾き(-2t+2-β)/(t-α)と直線x-y+1=0の傾き1の積が-1だから、
(-2t+2-β)/(t-α) × 1 = -1・・・(2)

ここで(1)のtを(2)に代入すればαとβの式が得られ、α→x、β→yと置き換えれば、求める直線の方程式になります。