３次方程式の置き方です

質問

α.β.γを解とする３次方程式は (t-α)(t-β)(t-γ) とおけると書いてあったのですが、最高次の係数をなぜ1として良いのかわかりません。
a(t-α)(t-β)(t-γ) = a{t^3 +(α+β+γ)t^2 - (αβ+βγ+γα)t -αβγ}
ではないのでしょうか。aがあるのとないのでは変わってくると思うのですが。問題は、
「実数a,b,c,がa<b<c , a+b+c=0 , bc+ca+ab=-3 をみたすとき、不等式
-2<a<-1<b<1<c<2 が成り立つことを示しなさい」という問題です。
よろしくお願いします。

回答No.1

himitsu

方程式である以上、α、β、γを解として(t-α)(t-β)(t-γ)とおいた場合、右辺は必ず0となり、
(t-α)(t-β)(t-γ)=0
となるわけですから、最高次の係数をaとした場合でも、
a(t-α)(t-β)(t-γ)=0
となり、両辺をaで割れば再び同じことになるのでは？

お礼

＞方程式である以上、α、β、γを解として(t-α)(t-β)(t-γ)とおいた場合、右辺は必ず0となり、
(t-α)(t-β)(t-γ)=0
となるわけですから、最高次の係数をaとした場合でも、
a(t-α)(t-β)(t-γ)=0
となり、両辺をaで割れば再び同じことになるのでは？

なるほど、そうですね！！「３次」方程式と書かれているから、３次の係数は０ではないことは明らかなんですね。喉に引っかかってた小骨がとれたような感じです。お返事どうもありがとうございました。