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logがわかりません・・・・

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お礼率 12% (43/358)

2^(log10(x))-1/4x^(log10(4))=0
の方程式なのですが
まず、1/4・・・のほうを右辺移動して
4をかけて4・2^(log10(x))が2^(log10(x+2))
となりますよね。そして両辺に10を底とする対数をとるという
ところからがわかりません・・・・
最終的にlog10(x)=2 で答えが100になります。よろしくおねがいします
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回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

ん,問題の式が違っていませんか? 答がlog10(x)=2 で x=100 というなら 2^(log10(x))-1/4x^(log10(4))=0 じゃなくて (1)  2^(log10(x))-(1/4)x^(log10(4))=0 じゃないんでしょうか? (1/4) の項を右辺に移して両辺4倍すれば 左辺は 4・2^(log10(x)),すなわち 2^{log10(x)+2} ...続きを読む
ん,問題の式が違っていませんか?
答がlog10(x)=2 で x=100 というなら
2^(log10(x))-1/4x^(log10(4))=0
じゃなくて
(1)  2^(log10(x))-(1/4)x^(log10(4))=0
じゃないんでしょうか?

(1/4) の項を右辺に移して両辺4倍すれば
左辺は 4・2^(log10(x)),すなわち 2^{log10(x)+2} (ここ間違っていますよ!)
右辺は x^(log10(4)) = x^{2 log10(2)}
つまり,
(2)  2^{log10(x)+2} = x^{2 log10(2)}
log10(a^b) = b log10(a) に注意して,(2)の両辺の常用対数をとると
(3)  (log10(x)+2)×log10(2) = log10(x)×2×log10(2)
で,
(4)  log10(x)+2 = 2 log10(x)
となり,結局
(5)  log10(x) = 2
です.

他にもやり方はありますが,shu84 さんの方針を生かしました.


  • 回答No.2
レベル14

ベストアンサー率 57% (1014/1775)

対数の性質: B,p,q>0のとき <1> logB[1]=0 <2> logB[B}=1 <3> logB[pq] = logB[p]+logB[q] <4> logB[p/q] = logB[p]-logB[q] <5> logB[p^r] = r(logB[p]) <6> B^logB[p] = p これら ...続きを読む
対数の性質:
B,p,q>0のとき
<1> logB[1]=0
<2> logB[B}=1
<3> logB[pq] = logB[p]+logB[q]
<4> logB[p/q] = logB[p]-logB[q]
<5> logB[p^r] = r(logB[p])
<6> B^logB[p] = p
これらの応用です。

2^(log10[x])-(1/4)(x^(log10[4]))=0
という方程式だから、log10(x)が定義できる範囲のxについてだけ考えろ、ということ。(ということはx>0である。)だから安心して対数を取ることができます。

どうせだから、小細工なしのやり方で。

2^(log10[x])=(1/4)(x^(log10[4]))
両辺の対数(底=10)を取ると===========(甲)

左辺=log10[2^(log10[x])]
  =(log10[x])(log10[2]) …<5>による。

右辺=log10[(1/4)(x^(log10[4]))]
  =log10[1/4]+log10[x^(log10[4])] …<3>による。
  =(log10[1]-log10[4])+log10[x^(log10[4])] …<4>による。
  =-log10[4]+log10[x^(log10[4])] …<1>による。
  =-log10[4]+(log10[4])(log10[x]) …<5>による。
  =(log10[4])((log10[x])-1)
さて、4=2^2 だから
log10[4]
  = log10[2^2]
  = 2(log10[2]) …<5>による。
これを使って、

右辺=2(log10[2])((log10[x])-1)

よって、左辺=右辺は
(log10[x])(log10[2])=2(log10[2])((log10[x])-1)
(log10[x])=2((log10[x])-1)
(log10[x])=2(log10[x])-2
2 = log10[x]

両辺を10の肩に乗せて===========(乙)
10^2 = 10^(log10[x])
10^2 = x …<6>による。



(甲)と(乙)が対になっています。
  対数を取って、式を整理して、指数にする。(或いは逆の順番のこともある)
この手はよく使います。
  • 回答No.3
レベル1

ベストアンサー率 0% (0/0)

第2項目を移項すると以下の式を得る 2^(log[10]x) = (1/4)* x^(log[10]4) 両辺に4をかけると以下の式を得る 4*2^(log[10]x) = x^(log[10]4) 左辺= 2^2 * 2^(log[10]x) = 2^(log[10]x + 2) 右辺= 4^(log[10]x) = (2^2)^(log[10]x) ...続きを読む
第2項目を移項すると以下の式を得る

2^(log[10]x) = (1/4)* x^(log[10]4)

両辺に4をかけると以下の式を得る

4*2^(log[10]x) = x^(log[10]4)

左辺= 2^2 * 2^(log[10]x)
= 2^(log[10]x + 2)

右辺= 4^(log[10]x)
= (2^2)^(log[10]x)
= 2^(2*log[10]x)

左辺=右辺より 以下の式を得る

log[10]x + 2 = 2*log[10]x

log[10]x = 2

∴ x = 10^2 =100
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