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三角比を使った図形の計量です

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  • 質問No.140321
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「対角線の長さが5、6、交角30度の四角形の面積を求めよ。」という問題です。高校生の問題集からです。よろしくお願いします.
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 28% (36/125)

「対角線の長さが5、6、交角30度の四角形」
に対し、各頂点を通る対角線に平行な線を引く。
こうして、もとの四角形に外接する平行四辺形をかくとこの平行四辺形はもとの四角形の2倍になるので、できた平行四辺形の面積を1/2すればよい。

それは、2辺の長さが5,6で、挟む角が30度の3角形の面積に等しい。
S=1/2・5・6・sin30°=15/2
お礼コメント
m-kaz

お礼率 50% (1/2)

とてもよくわかりました。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-09-26 00:46:01
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  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 40% (25/62)

四辺形の面積 = 1/2 X [両対角線長の積 X sin(対角線の交角)] で計算できます。計算は自分でやってください。 でもこれだけでは、あまり素っ気無いので、上の式が、成立する証明を下記します。以下の説明で画を書いてください。 四辺形の頂点を、A,B,C,D, 対角線の交点を P、対角線の交角を、θ とします。(交角は、2種類ありますが、どちらか1つを、θ としてください。も1つは (2 ...続きを読む
四辺形の面積 = 1/2 X [両対角線長の積 X sin(対角線の交角)] で計算できます。計算は自分でやってください。

でもこれだけでは、あまり素っ気無いので、上の式が、成立する証明を下記します。以下の説明で画を書いてください。

四辺形の頂点を、A,B,C,D, 対角線の交点を P、対角線の交角を、θ とします。(交角は、2種類ありますが、どちらか1つを、θ としてください。も1つは (2∠R - θ)となりますが、θ は以下の式のように sin の形で使いますから、sinθ = sin(2∠R-θ) で、どちらに決めても同じです。)

四辺形の面積 S = △ABP + △BCP + △CDP + △DAP
= 1/2 (AP X BP + BP X CP + CP X DP + DP X AP ) sinθ
= 1/2 (AP + PC) X (BP + PD) sinθ
= 1/2 X AC X BD X sinθ

これで証明を終わります。念のため、くどくなりますが、式の2行目から、3行目に移る、三角形の面積が三角形の2辺の積と交角の sin をかけたものの1/2に等しい、としているのは、三角形の正弦法則として、幾何の本にありますから、ご自分で調べてください。

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