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三平方の定理etcなど、定理や公理、定義という用語を使いますが、それぞれ、意味は違うのでしょうか? どのような意味なんですか?

noname#38655
noname#38655

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回答No.3

ちょっとくだいて説明すると、 「定義」は、「こう定めましょう」という意味です。 たとえば、「畑でそだった食べ物を野菜と定義する」と言ったら、「畑でそだった食べ物を野菜と呼ぶことにしましょう」という意味です。「定義」は「こう決めます」ということなので逆らうことはできません。 「定理」というのは、「絶対にこういうことが成り立ちますよ」という意味です。 たとえば、「三平方の定理」は、「直角の部分がある三角形なら、『ぜったいに』成り立つ」からです。 「公理」というのは、「成り立つかどうか誰もわからないけれど、成り立つということにしましょう」という意味です。たとえば、「いくらのばしても交わらない2本の直線が引ける」(平行線といいますよね)というのは、誰も確認することはできませんが、みんな「多分平行線というのはあるだろう」と信じているので「公理」と言います。信じてはいるけど、ほんとうに平行線が引けるかどうかは、わからないですよね。 ちなみに、「平行線なんて引けない」と信じる人もいます。宇宙の先は空間が曲がっているのでまっすぐな線を引いたように見えても途中でどうやっても交わってしまうのです。これはまた別の「公理」ですよね(なんとなくわかりますか?)。こういうのを非ユークリッド空間とか言います。(大学で数学を専門にやると学びますけど。)そうやって信じて数学をやると、平行線は引けると信じて数学をやるのと同じくらい、かっこいい数学ができることがわかっています。 (なんでもかんでも信じていいというわけじゃないんです。たとえば、宗教もそうですよね。それぞれ独自の考え(=公理)がありますけど、「人を殺してもOK!」なんて考えのもとに理論を作ろうとすると、いつか無理がでてきちゃいます。でも、「平行線はぜったいに引けない」と考えて数学をやっていっても、筋のとおる数学の世界が生まれることがわかっています。なので、平行線は交わるかどうかは誰もわかりませんが、とりあえず、交わらないと思う人が多いので僕たちは交わらないと決め付けて数学をやってるわけです。) 信じるかどうかで数学はがらりと変わってしまうんです。僕たちがやっている数学が、実は大間違いだった、なんて日もくるかもしれません。 ほかにも、僕たちはいろんなことを「決め付け」て数学をやっていますよ。たとえば、一番基本的なのは、「+の公理」というやつで、「いつでも、次の数がありますよ」という公理です。確かにそんな気もしますが、突然数がストップしてしまう可能性もゼロとはいえないですよね?? ただし、「突然数がストップしてしまう」と信じて数学をやると、あまりいい数学の世界が作れない、ということがわかっています。 なんか難しくてすみませんけど、なんとなくわかってもらえたでしょうか??

その他の回答 (2)

  • sunasearch
  • ベストアンサー率35% (632/1788)
回答No.2

定義(ていぎ)とは、集団に於いて構成員が共通認識を抱く為に定める概念、術語の正確な意味・約束事をいう。広く一般に定着することにより、効力を発揮することが出来る。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%BE%A9 定理(ていり、theorem)とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題(ほだい、lemma, 補助定理とも)、系(けい、corollary)、命題(めいだい、proposition)などとも呼ばれることがある。ここでの命題と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意いただきたい。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%9A%E7%90%86 公理(こうり)とは、学問を構築する上で前提とされる命題で、証明するまでもなく、自明とみなされるもののことを言う。 http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86

  • Sisyphe
  • ベストアンサー率25% (4/16)
回答No.1

 取りあえず全部辞書を引いてみます。 【公理】数学で、論証がなくても自明の真理として承認され、他の命題の前提となる根本命題。 【定理】ある理論体系において、その公理や定義をもとにして証明された命題で、それ以降の推論の前提となるもの。 【定義】論理学で、概念の内包を明瞭にし、その外延を確定すること。  以上、大辞林より抜粋。以下、具体例など。 【公理】例えばユークリッドの定めた公理の1つに、「平行な2直線は交わらない」というのがあります。これは、交わらないことが証明できるのではなく、万人に備わる理性によってそれが正しいと分かるであろうもの、そのような想定のもとに打ち出されています。ですから、「平行な2直線も交わります!」と言い切る公理体系も作れます。有名なものに、ヒルベルトが作った「平行な2直線は無限遠点で交わる」という公理があります。  「何かから導かれるものではなく、自明として認められうるもの。」であり、また「1つの公理が1つの公理体系を作る」ということです。  #蛇足:ユークリッドとヒルベルトの定めた公理が全く異なるように、公理は1通りではありません。要は「理解されうるかどうか、実用性があるか」です。「平行な2直線は異なる10点で交わる」という公理を作り上げても構いません。どうなるかは知りませんが。 【定理】1種類の公理体系から導かれる事実です。僕らが「0があって1があって、平行な云々・・・」という公理体系を組み立てれば、その中から様々な定理が導かれます。 【定義】便宜上、勝手に定めるものです。sinθ=a/cみたいな奴です。もっと原始的には、長方形の面積=abも定義です。

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