確率の問題ーどちらかが規定の回数を出したら勝ちとする

質問

高校の数I教科書（数研）に次のような問題があります。

a、b 二人が交互に1枚の硬貨を投げ、先に表を2回出した方が勝ちとする。最初にaが投げるとき、aが勝つ確率と、bが勝つ確率をそれぞれ求めよ。ただし、
硬貨を形回投げて勝負がつかなければ、引き分けとする。

教科書ガイドは次のようになっています。表をH,裏をTと略記します。

a,bの勝ち負けを樹形図で表すと下の図（ーや／のような線がうまく引けず、
樹形図にはなっていません）のようになり、これらの各場合は排反である。

第1回 第2回 第3回 第4回 勝負
a b a b
H H H なし aの勝ち
H H T H bの勝ち
H H T T 引き分け
H T H なし aの勝ち
H T T H 引き分け
H T T T 引き分け

T H H H bの勝ち
T H H T 引き分け
T H T H bの勝ち
T H T T 引き分け
T T H H 引き分け
T T H T 引き分け
T T T H 引き分け
T T T T 引き分け

よって、aが勝つ確率は、（1/2)^3+(1/2)^3=1/4 (答え）

bが勝つ確率は、（1/2)^4+(1/2)^4+(1/2)^4=3/16 （答え）

となっています。

さて、ここからが疑問点なのですが、aが勝つという事象は試行３回ですが、bが勝つという事象は試行４回です。
このように二つの事象の種類が違うのに同じ問題の中でa,bの確率を上のような式で計算できるのはちょっと不思議な気がします。

上の樹形図で見ると、（あくまで見かけ上ですが）試行3回の根元事象の合計は2であり、試行4回の根元事
象の合計は12であるように見えます。

根元事象の種類（この場合は試行の回数）を統一しておく必要はないのでしょうか？

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

>根元事象の種類（この場合は試行の回数）を統一しておく必要はないのでしょうか？

実際には、aが勝った時には、bが４回目に投げる場合を省略しているのです。

つまり具体的には、

HHHTとHHHH(1/16+1/16)

をまとめて、

HHH(1/8)

と記述しているだけの事で、問題ないことがわかるかと思います。

お礼

>実際には、aが勝った時には、bが４回目に投げる場合を省略しているのです。

早速のご教示、まことにありがとうございました。この「省略」がポイントですね。

これですっきりいたしました。

重ねてお礼申し上げます。

回答No.2

kony0

確率の習い始めに出てくるキーワード「同様に確からしい」をよく確認してください。

根元事象の合計を12と言うことは構いませんが、その中に、1/8の確率で発生する事象が4つと、1/16の確率で発生する事象が8つあるだけです。

その上で、実際には#1さんのように、HHHという事象を、HHHHとHHHTという2つの事象に分けて、「同様に確からしい」16個の根元事象に分けるという手があります。

お礼

>確率の習い始めに出てくるキーワード「同様に確からしい」をよく確認してください。

さっそくのご教示を感謝いたします。「同様に確からしい」をうっかり致しておりました。変な確率が出てきたときはこれをチェックすることの大切さを学びました。

どうもありがとうございました。