倍数の判別方法の証明

質問

先日modについての質問をさせて頂いたものです。
modについては分かりやすい解答を頂き、(おそらく)分かったのですが、
それでも倍数判定の証明がよく分かりません。

３の倍数：
Ｎ＝m×10n＋・・・＋c×10^2＋b×10＋a　において
10≡1から、10^n≡1である。
よって　Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋d　となり・・・・

と書かれていたのですが、なぜ余りが1であれば
Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋aと変形できるのか分かりません。
説明いただけると助かります。宜しくお願いします。

回答No.1

sunasearch · ベストアンサー

10≡1から、10^n≡1である。（mod 3）

１は何乗しても１なので、
１０を何乗しても、それを３で割ったものの余りは１になります。

そこで、
m×10^n は、ｍ×（３ｋ＋１）（ｋは整数）
＝３ｍｋ＋ｍ
と書けますから、

３の倍数の部分を除いて、ｍだけで表すことができるので、
Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋a
と変形することができます。

お礼

前回に引き続き、２度も教えて頂いて本当に有難うございます。

なるほど、そう変換できるのですね、気付きませんでした;
大変分かりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

yoikagari

Ｎ＝m×10^n＋・・・＋c×10^2＋b×10＋aと
Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋a　(mod 3)とは
Ｎ－(m＋・・・＋c＋b＋a)が3で割り切れることです。
このことは以下のようにすれば示せます。

N－(m＋・・・＋c＋b＋d)＝m×10^n＋・・・＋c×10^2＋b×10＋a－(m＋・・・＋c＋b＋a)
＝m×(10^n－1)＋・・・＋99c＋9b＝m×9…9＋・・・＋99c＋9b
＝9×{(1…1)×m＋・・・＋11c＋b}＝3×3×{(1…1)×m＋・・・＋11c＋b}
となるので、N－(m＋・・・＋c＋b＋d)は3で割り切れます。したがって、Ｎ≡m＋・・・＋c＋b＋a　(mod 3)が言えます。

(実は全く同じやり方でＮ≡m＋・・・＋c＋b＋a　(mod 9)であることも示せます)

お礼

なるほど、そういう考え方も出来るんですね。
先日こちらでmodの定義を
教えて頂いたばかりなのですが、こんな風に利用できるんですね。
また何かの問題等で役立てたいと思います。
ありがとうございました。

９の倍数証明も、この後やるつもりだったので、
参考にさせて頂きます。有難うございます。

回答No.2

temptationx

簡単な例をつくって考えるとわかります。
（ ≡ はすべて mod3 )

10≡1であれば10^n≡1 は理解できますね。
たとえば 1000 は999+1 と変形できます。999の部分は３の倍数なので、1000≡1です。
10^n は、9999......9+1 と考えれば 10^n≡1とわかります。

m×10^n は、m×(9999.....9+1) = m×999....9 + m×1　であり、前半のm×999....9は３の倍数だから
mx10^n≡mになります。

最後のＮ≡m＋・・・＋c＋b＋dについて。
たとえば、　A≡2　　B≡1　　とします。
Aは（３の倍数その１）＋２、Ｂは（３の倍数その２）＋１　ということですから、
Ａ＋Ｂ＝（３の倍数その１）＋２＋（３の倍数その２）＋１＝（３の倍数その１＋３の倍数その２）＋２＋１
になります。（３の倍数その１＋３の倍数その２）は３の倍数ですから、この部分は≡０になります。
ですからＡ＋Ｂが３の倍数になるかどうかは２＋１が３の倍数になるかどうかを調べればよいことになり、
（Ａ＋Ｂ）≡２＋１≡０であることがわかります。
つまり、Ａ≡x　Ｂ≡y　であるなら、（Ａ＋Ｂ）≡x+y　と考えて良いことがわかります。

お礼

解答ありがとうございます。

１つひとつ丁寧に例を挙げて頂いて、しっかり確認できました。
とても詳しく書いてあって驚きました。
ありがとうございました。