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(-1)^2=1の証明

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  • 質問No.137610
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ベクトル空間の公理を前提に
a,bがスカラーのとき
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
が成立しますが,
a=+1, b=-1
を代入すると
(-1)^2=1
が得られます.
以上の議論は正しいのでしょうか?
簡単すぎて不安になりました.
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.2
レベル12

ベストアンサー率 30% (137/450)

これは、環論の最初の問題だと思います。

意味は、乗法単位元1について、
その加法逆元(-1)を考え、その2乗が1に
等しくなるかどうかを聞いているのでしょう。
 従って、証明は以下のようになります。

(-1)*(-1)+(-1)*1
=(-1)*((-1)+1)
=(-1)*0
=0 (この理由は省略)

 これから、
 (-1)*(-1)+(-1)=0
両辺に 1 を加えて
 ((-1)*(-1)+(-1))+1=1
結合法則は環で成立
 (-1)*(-1)+((-1)+1)=1
 (-1)*(-1)+0=1
よって、
 (-1)*(-1)=1
証明終わり
ただし、交換法則、結合法則
等は適当に補って下さい。
 昔、学生時代に可換環論、の本にあった。

 
お礼コメント
noname#2879

遅くなりました.
大変ありがとうございます.
投稿日時 - 2003-01-09 10:24:18
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.1
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

正しい。(a+b)(a-b)=a^2-b^2 は単なる展開の公式ですね。だから成り立つ。 →a,→bがスカラーのとき,というのは→a,→bが方向を持たない大きさだけの量ということですね。つまり小学校、中学校で教える量というのは大きさだけを持つ面積、体積、などですね。だからa,bがスカラーのとき、成り立つ。 ...続きを読む
正しい。(a+b)(a-b)=a^2-b^2 は単なる展開の公式ですね。だから成り立つ。
→a,→bがスカラーのとき,というのは→a,→bが方向を持たない大きさだけの量ということですね。つまり小学校、中学校で教える量というのは大きさだけを持つ面積、体積、などですね。だからa,bがスカラーのとき、成り立つ。
お礼コメント
noname#2879

有難うございます.
ベクトル空間の公理を前提にスカラーを考えるというのはちょっとおかしかったのですね.
投稿日時 - 2001-09-19 10:53:31

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