クーン・タッカー条件

質問

目的関数　3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))　→　Max
制約条件　x+y ≦　10
x , y ≧　0
に対するクーン・タッカー条件を求めてください。
よろしくお願いします。

回答No.2

dyadics13 · ベストアンサー

目的関数を偏微分したものと、制約条件式を偏微分したものに
ラグランジュ乗数をかけて足し合わせ、それを０とすれば
Karush-Kuhn-Tucker条件になると思います。

最大、最小、不等号の向きに注意して導いてみると…
f(x,y)=-[3(1-e^(-2x))+4(1-e^(-y))]
g1(x,y)=x+y-10
g2(x,y)=-x≦0
g3(x,y)=-y≦0
と置くと、

∇f(x,y) = [-6e^(-2x), -4e^(-y)]T
∇g1(x,y) = [1, 1]T
∇g2(x,y) = [-1, 0]T
∇g3(x,y) = [0, -1]T

（ただしTは転置記号）
ラグランジュ乗数をλ1、λ2、λ3として、

[-6e^(-2x), -4e^(-y)]T + [λ1, λ1]T + [-λ2, 0]T + [0, -λ3]T
= [0, 0]T

ある局所最適解[x*, y*]Tについて上式を満たすλi(i=1,2,3)が存在する
というのがご所望のKarush-Kuhn-Tucker条件です。

＃計算に自信無いのでチェックして下さいね

ちなみにKarush-Kuhn-Tuckerは経済学だけに出てくるものではなく、
基本的に数理計画法の分野のものです。その応用は多岐に渡ります。

＃例えば航空機や宇宙往還機の最適軌道計算など

お礼

回答ありがとうございました。
お礼が遅れてすみませんでした。

回答No.1

newtype

クーン・タッカー条件は下記に載せておきます。
後はみながら解けるんじゃないですか。
経済学の問題なんですね。もし解けないなら経済学で質問した方がいいんじゃないんですか？専門家あるいは経験者の方が的を得た回答をしてくれると思いますよ。

参考URL：

http://members.tripod.co.jp/moldovan/economic/economics/basicmath.htm

お礼

回答ありがとうございました。