級数の問題について

質問

次の問題が解けません。
ド・モアブルの定理を用いて、３倍角の公式を導け。

回答No.1

Riten · ベストアンサー

ヒントを出します。ド・モアブルの定理は(cosθ＋sinθ)^n＝cos(nθ)＋sin(nθ)ですよね。三倍角の公式はn＝3として導き出すことができます。この公式の左辺を展開し、右辺と左辺の実部と虚部がそれぞれ等しいことを用いれば、三倍角の公式が導き出せます。とりあえずやってみましょう。

回答No.3

newtype

Ritenさん、級数の問題と書いてあるんだから二項定理を使って求めた方がいいと思いますよ。私もヒントで回答します。
（ｐ＋ｑ）^n＝Σ(from k=0 to n)nCk ｐ^k・(ｑ)^(n-k)（∵二項定理）
より、
ｐ＝cosΘ，ｑ＝ｉsinΘ，この場合ｎ＝３だから、
（cosΘ＋isinΘ）^3＝Σ(from k=0 to 3)3Ck (cosΘ)^k・(isinΘ)^(3-k)
＝3C0(isinΘ)^3＋(ア)””””＋(イ)””””＋3C3(cosΘ)^3
＝－ｉ(sinΘ)^3－3cosΘ・(sinΘ)^2＋3i(cosΘ)^2・(sinΘ)＋（cosΘ）^3
＝－3cosΘ・(sinΘ)^2＋(ウ)””””＋ｉ｛（エ)””””－(sinΘ)^3｝
＝(オ)””””＋ｉ｛(カ)””””｝
あとはいいでしょう。一般にｎ乗は二項定理でやると簡単に展開できる。

問題（ア）～（カ）の空欄に数式を入れよ。
しかし、簡単ですね。
以上

回答No.2

Riten

ごめんなさい。ド・モアブルの定理は(cosθ＋isinθ)^n＝cos(nθ)＋isin(nθ)でした。ただしi＝√-1です。ごめんなさい。