曲線と接線の問題です

質問

「曲線S:y-ax^3 + bx と原点を通らない直線L:y=mx+nが
異なる３点A,B,C で交わっている。A,B,C におけるSの接線が再びSと交わる点をそれぞれ、A',B',C' とするとき
A',B',C' は一直線上にあることを証明せよ。
また、その直線の方程式をa,b,m,n,で表せ。」という問題です。

ヒントには、「方針として、３点A,B,C のx座標の関係式
α+β+γ=0 を用いてA'B'とA'C'の傾きが等しいことを示せばよい。 」と
書かれてあったのですが、これはどういうことでしょうか。

回答No.3

guiter · ベストアンサー

＞A'(-2α , 8aα^3 + bα)になりました。
ミスだと思いますが
　A'(-2α , -8aα^3 + -2bα)
ですね。したがって、
　(A'B'の傾き) = 4a(α^2 + αβ + β^2) + b
となります。

＞文字が違うので、０にはならないと思うのですが。
素直に、(A'B'の傾き)－(B'C'の傾き)　を計算してみてください。
そして、因数分解すると・・・、ということです。

＞α+β+γ=0 を使う場所がわかりました。
＞A'のx座標を求めるときに使うのですね。
使わなくてもそんなに計算は大変ではありません。
s-word さんの仰るように接するということを使うのがよいと思います。
今は、接線の方程式が
　y - (aα^3 + bα) = (3aα^2 + b)(x - α)
ですから、連立させて変形すると
　ax^3 + bx - (aα^3 + bα) = (3aα^2 + b)(x - α)
⇔a(x^3 - α^3) = 3aα^2(x - α)
⇔a(x - α)(x^2 + αx - 2α^2) = 0
⇔a(x - α)^2(x + 2α) = 0
となります。
始めから、(x - α)^2 を因数に持つことがわかっているので
そんなに大変な計算ではないと思います。
３次か４次程度ならこのやり方でよいと思います。
ただし、高校数学から離れているので、
解と係数の関係式を用いた方が簡単になる問題があるのかどうかはわかりません。

＞基本的にy座標がシンプルに表せることができる式にαを代入して
＞y座標を表すという考え方でよろしいのでしょうか。
このあたりも、高校数学に関わっている方のフォローが欲しいところですが、
普通は簡単な式に代入ということでよいと思います。

＞SとLを連立して、そのx座標をa,m,n,で表して、
＞そこから始めるというのは間違いでしょうか。
間違いというわけではないですが時間がかかりそうです。
まず、３次方程式を解くのが大変です。
さらに、出てきた解を代入して計算しなければなりません。
解と係数との関係式が使えるかどうかは別として、
α、β、γなどと置くのは、計算式を書くのが楽になるという点でも自然だと思います。
その上で、もし関係式が使えたなら具体的な解を求めることなく
最終的な解答を求めることが出来るということです。

お礼

お返事ありがとうございます。
＞素直に、(A'B'の傾き)－(B'C'の傾き)　を計算してみてください。
そして、因数分解すると・・・、ということです。

計算してみました。最終的な形は、
(A'B'の傾き)－(B'C'の傾き)=4a(β-γ)(α+β+γ)になりました。ここで、α+β+γ =0 を使うと０になりますね。なるほど。

＞s-word さんの仰るように接するということを使うのがよいと思います。
今は、接線の方程式が
　y - (aα^3 + bα) = (3aα^2 + b)(x - α)
ですから、連立させて変形すると
　ax^3 + bx - (aα^3 + bα) = (3aα^2 + b)(x - α)
⇔a(x^3 - α^3) = 3aα^2(x - α)
⇔a(x - α)(x^2 + αx - 2α^2) = 0
⇔a(x - α)^2(x + 2α) = 0

あっ、これは、もう一つの点のx座標が -2α を通ることを表していますね。僕はa(x - α)^2(x + r) = 0
というように未知数r をおいて式をとりあえず立てて、
それと、普通に連立して、x でまとめた式との係数比較をやったのですが、(x - α)^2でまずくくってそこから、残りのxの式を因数分解すれば a(x + 2α) になって、すぐにもう一方の解であるx=-2α が求められますね。今度からは、
定数項に着目して一発目から、因数分解するような方法にしてみます。

＞解と係数との関係式が使えるかどうかは別として、
α、β、γなどと置くのは、計算式を書くのが楽になるという点でも自然だと思います。
その上で、もし関係式が使えたなら具体的な解を求めることなく最終的な解答を求めることが出来るということです。

なるほど、そういう利点があるのですね。関係式を見つければよいのですね。どうしても「置いたら消さないと」と思って消えるのか不安になるのですが、一度そのようなスタンスで関係式を探してみようと思います。ありがとうございました。

回答No.7

guiter

＞点Aの接線は y=(3aα^2 + b)x - 2aα^3 + bα
＞になりました。SとAの接線を連立すると、
＞ax^3 - 3aα^2x + 2aα^3 - bα =0になりました。
＞ここから因数分解しようとすると、
＞a(x-α)^2(x+2aα- b/α)になりますね。
＞これでよろしいのでしょうか。どこか間違っているような・・・。
接線は
　y=(3aα^2 + b)x - 2aα^3
のようになるはずです。（計算ミスでは？）
したがって、連立すると
　ax^3 - 3aα^2x + 2aα^3 = 0
ですね。bαの項があると (x-α)^2 ではくくれません。
　ax^3 - 3aα^2x + 2aα^3 - bα =0
から
　a(x-α)^2(x+2aα- b/α)
にはならないですよね。

お礼

お返事ありがとうございます。やはり、計算間違いでしたか。薄々計算間違いしている感じがしたのですが、何度見ても同じ結果になるので、困っていました。もういちど、
bαが消えるはずだと思ってみてみると、うまくいきました。どうもありがとうございました。

回答No.6

newtype

一部訂正

「さて、点Ａでの接線をL(ｘ)とし、再び交わる点Ａ’のｘ座標をα’とすると、
f(x)-L(x)＝ａ（ｘ－α’）^2（ｘ－α’）…（４）なので、のｘ^2の係数を比べて」を、

「さて、点Ａでの接線をL(ｘ)とし、再び交わる点Ａ’のｘ座標をα’とすると
f(x)-L(x)＝ａ（ｘ－α）^2（ｘ－α’）…（４）なので、のｘ^2の係数を比べて」

と直してください。
点αで接するということは、αが重解になるということだからね。後は計算間違いをしていなければ、あっている筈です。最近一部訂正が多いぜ。やきがまわったかなあ（笑）。

お礼

＞最近一部訂正が多いぜ。やきがまわったかなあ（笑）。

いえいえ、いつもお答えくださって感謝しております(^^)

回答No.5

newtype

＜解＞
y=ax^3 + bx＝f(x)、y=mx+nが＝g(x)とし、求める直線の方程式＝h(x)とする。
f(x)とg(x)の交点Ａ，Ｂ，Ｃのｘ座標をそれぞれ、α，β，γとすると、
f(x)－g(x)＝ａ(ｘ－α)(ｘ－β）(ｘ－γ)＝ａｘ^3－ａ(α＋β＋γ)ｘ^2＋ａ(αβ＋βγ＋γα)ｘ－ａαβγより、
α＋β＋γ＝０…（１）両辺のｘ^2の係数を比べた）
αβ＋βγ＋γα＝（ｂ-ｍ）／ａ…（２）（両辺のｘの係数を比べた）
αβγ＝ｎ／ａ…（３）（定数項を比べた）

さて、点Ａでの接線をL(ｘ)とし、再び交わる点Ａ’のｘ座標をα’とすると、
f(x)-L(x)＝ａ（ｘ－α’）^2（ｘ－α’）…（４）なので、のｘ^2の係数を比べて、
α’＝－２α…（４）'
同様にβ’＝－２β，γ’＝－２γがいえる。
（１），（２），（３）にこれらを代入し整理すると、
α’＋β’＋γ’＝０…（１）’
α’β’＋β’γ’＋γ’α’＝（４ｂ－４ｍ）／ａ…（２）’
α’β’γ’＝（－８ｎ）／ａ…（３）’である。

よって、
f(x)－h(x)＝ａ(ｘ－α’)(ｘ－β’）(ｘ－γ’)＝ａｘ^3＋（４ｂ－４ｍ）ｘ＋８ｎ
⇔
h(x)＝ａx^3＋ｂｘ－｛ａｘ^3＋（４ｂ－４ｍ）ｘ＋８ｎ｝
＝（－３ｂ＋４ｍ）ｘ－８ｎ
よって点Ａ'Ｂ'Ｃ'は直線ｙ＝（－３ｂ＋４ｍ）ｘ－８ｎ上にある。

ひょっとしたら計算間違いしてるかもしれない。検算求む。
以上

お礼

お返事ありがとうございます。なるほど、このようなやり方もあるのですね。とてもスマートに見えますね。大変参考になりました。どうもありがとうございました。

回答No.4

shushou

問題の解答はguiterさんのおっしゃるとおりです。
因数分解してα+β+γ=0をつかえばよいですね。

＞それと、ここでお聞きしたいのですが・・・
＞基本的にy座標がシンプルに表せることができる式にαを代入してy座標を表すという考え方でよろしいのでしょうか。

一概にそうとは言い切れないと思います。
たとえば、点AにおけるSの接線を求めるときに
点Aを（α,mα+n) とおくか（α,aα＾3+ｂα）とおくかですが
後者のほうがいいです。後者のように点Aをおいて点A'を出してみて下さい。
＞α+β+γ=0 を使う場所がわかりました。A'のx座標を求めるときに使うのですね
と書かれていますが、α+β+γ=0 なんて使わなくてもA'のx座標を
だせることが分かると思います。
そもそも　S上の点Aにおける接線とSとの交点を求める　という過程においては
y=mx+n は全く関係ないですよね。
必要ないのに関係ないものをもちこむのは話を複雑にするだけですので
点Aを（α,mα+n) とおくのは　あまりお勧めできません。
まあ、このあたりのことはたくさん問題を解いていくうちに
だんだん分かってくることです。
なお、軌跡の問題ではs-wordさんのおっしゃるとおり
ｙ座標がシンプルになるようにえらんだほうが良いです。

＞SとLを連立して、そのx座標をa,m,n,で表して、そこから始めるというのは間違いでしょうか。未知数をおかずにそのようなやり方でやってしまったのですが。未知数を置くという考えが浮かんできませんでした。

間違いではないですよ。でも
未知数でおくと２つのメリットがあるんです。
１つめ：たとえば交点のｘ座標が（3b-√a)/2になったとします。
このあとこの（3b-√a)/2という式を何度も書いたり代入したりすることに
なるでしょうが、はっきり言って面倒ですよね。それに写し間違いもしてしまう
かも知れない。ところが（3b-√a)/2をたとえばαとおいてしまえば
面倒でもないし、写し間違いもないでしょう。それに答案もすっきりするし。

２つめ：交点のｘ座標がさっきの（3b-√a)/2のように具体的に求められない
場合が結構たくさんあります。今回の問題がそうです。
SとLの交点を求めるには３次方程式を解かなければなりませんが
この場合の３次方程式は高校生には解けません。
交点が出せないから問題が解けない、などということはなくて
ちゃんと解けます。というか解けるように作られているので安心を。
でも、交点が分からなければ話が進みませんよね。
そこで、さも交点が求まったみたいな顔をして
交点のｘ座標をαと置いてしまうのです。
そうすれば話が進められる、というわけです。
αのもつ性質は解と係数の関係がすべて引き出してくれます。

というわけで交点を未知数でおくというのは
とても重要で、かつ強力な方法ですのでぜひ覚えて下さい。

お礼

お返事してくださってどうもありがとうございました。

＞たとえば、点AにおけるSの接線を求めるときに
点Aを（α,mα+n) とおくか（α,aα＾3+ｂα）とおくかですが後者のほうがいいです。後者のように点Aをおいて点A'を出してみて下さい。

点Aの接線は y=(3aα^2 + b)x - 2aα^3 + bα
になりました。SとAの接線を連立すると、
ax^3 - 3aα^2x + 2aα^3 - bα =0になりました。
ここから因数分解しようとすると、
a(x-α)^2(x+2aα- b/α)になりますね。
これでよろしいのでしょうか。どこか間違っているような・・・。

＞というわけで交点を未知数でおくというのは
とても重要で、かつ強力な方法ですのでぜひ覚えて下さい。

積分の問題で、よく交点をα,β とおいて、かいと係数の関係から、α+β, αβ の値をそれぞれ出しておいて、あとでその関係式から、α,β を消すというのは慣れているのですが、このような問題にもそのような考え方を使いたいと思います。文系の積分は２次までなので、解と係数の関係が使えるのですが、他の問題でも４次以上はでないと思うので、３次でも交点をα,β,γ とおいて、解と係数の関係から、関係式をつくってあとで消去をするというような感じでいきたいと思います。どうもありがとうございました。

回答No.2

guiter

まず、x=αでの接線を求めてみてください。
その式と曲線Ｓの式からA'のｘ座標が出ますね。
それからｙ座標も出てきます。
同様にｘ=β、γのときの接線からB',C'なども求まります。

ここまでくれば、A',B',C'の座標がそれぞれα、β、γで表されていますから、
(A'B'の傾き)－(B'C'の傾き)＝…＝０
を計算するだけです。

お礼

お返事ありがとうございます。計算してみました。
A(α,mα+n) ,A'(-2α , 8aα^3 + bα)になりました。よって、同様に B'(-2β , 8aβ^3 + bβ) ,
C'(-2γ , 8aγ^3 + bγ)になりますよね。
(A'B'の傾き)={(8aα^3 + bα) - (8aβ^3 + bβ)} / (-2α) - (-2γ) = -4a(α^2 + αβ + β^2) - b/2
になりました。ここからどうやって、(A'B'の傾き)－(B'C'の傾き)＝…＝０ を示せばよいのでしょうか。文字が違うので、０にはならないと思うのですが。

α+β+γ=0 を使う場所がわかりました。A'のx座標を求めるときに使うのですね。いままで、そのまま連立した式と、図形の接するという情報から、因数分解した式を係数比較して、比べていましたが、回と係数の関係も使えるのですね。大変参考になりました。

それと、ここでお聞きしたいのですが、ある曲線と直線の交点のx座標をαと設定してy座標を表すときに曲線の上に乗っているということで、曲線の式のx座標にαを代入すればよいのか、直線の上にのっているということで、直線の式のx座標にαを代入すればよいのかどちらが良いのでしょうか。基本的にy座標がシンプルに表せることができる式にαを代入してy座標を表すという考え方でよろしいのでしょうか。

それと、この問題では、曲線S:y-ax^3 + bx とL:y=mx+nも交点をαとおいて、始めるとおっしゃいましたが、SとLを連立して、そのx座標をa,m,n,で表して、そこから始めるというのは間違いでしょうか。未知数をおかずにそのようなやり方でやってしまったのですが。未知数を置くという考えが浮かんできませんでした。

回答No.1

guiter

＞３点A,B,C のx座標の関係式 α+β+γ=0 を用いて
という部分がわからないということですよね。
S と L の交点のｘ座標は
　ax^3 + bx = mx + n
⇔ax^3 + (b-m)x - n = 0
という方程式を解くことで出てきます。
この方程式の解がα、β、γですから係数との関係が出てきます。

＞A'B'とA'C'の傾きが等しいことを示せばよい。
はそのままですよね。

お礼

お返事どうもありがとうございます。なるほど、そのような意味だったのですね。よくわかりました。それと、そのことを使ってA'B'とA'C'の傾きが等しいことを示せばよいと思うのですが、どう示せばよいのかわからないので、どう進めていけばよいのか教えていただけますでしょうか。
よろしくお願いします。