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点が線分上にある条件について

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お礼率 40% (2/5)

数学がとても苦手なのです。基本的な問題で申し訳ありません。

同一平面上で、ある点P(PX,PY)が、点A(AX,AY),点B(BX,BY)を結んだ線分AB上に存在する場合、点Pの座標が満たすべき条件を教えてください。

なんとなくは分かるのですが、シンプルに考えることができず、頭の中がごちゃごちゃになってしまいます。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

一般に平面上に線形独立なベクトルが2つあったとすると、(それぞれ位置ベクトルをa,bとする)
その平面上の任意の点(位置ベクトルをpとする)はすべてそれらの一次結合(線形結合)で表わすことができる。

すなわち、p=αa+βb…(1)(α,βは任意)と簡単に表わせることが出来る。
このαとβに条件がつくと、線分、直線、領域などを表わすことができるのだ。
それについてわからなければ後日にまた質問してもらえればよい。一つだけ言っておくと、覚えるべきは(1)式だけであり、他の条件は線分、直線、領域など特別な場合でさえ自分で導くことが重要だということだ。その後に覚えるなら許されるのだが、初めからこんなもの覚えたところでパラメーターを変えられれば問題が解けなくなるのは、目に見えている。どうか正しく勉強なさいますように。
私は高校生のとき、「大学への数学シリーズ」で勉強していましたが、空間図形とベクトルに関しては「細野真宏の空間図形とベクトルが面白いほどわかる本ハイレベル問題」がおすすめだ。解が気に入らないところもあるが(たとえば点から平面に下ろした垂線の足の座標の求めかた…等)、良書の類であるのは確信できる。
この本を読まずしてベクトルを語るなかれ。
suyasuyaさんの解は正しい。これによると、条件はα+β=1ですね。
ちなみに、「α+β=1かつα≧0,β≧0ならばpは線分AB上」
「0≦α≦1,0≦β≦1ならば、pはOA,OBを二辺とする平行四辺形の周および内部」
「α+β≦1かつα≧0,β≧0ならばpは三角形OABの周および内部」
等々いろいろあるがどれも一つ変えただけでがらっと答えが違うことに注目してほしい。パターン暗記がいかに無意味なことかわかるはずだ。
パターン暗記が通用するのは微積で、一番役に立たないは確率なんだがベクトルは中間に位置しているので勉強方法がわからない人は意外にも多いのかもしれない。
いずれにしても、勉強することがいっぱいあって大変だなということです。

以上
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル6

ベストアンサー率 28% (2/7)

ベクトルから考えると、点が線分上にある条件は AP(ベクトル)=KAB(ベクトル)・・・・・Kは定数~~~~(1) 上記の式になります。詳しく言うと A,P,Bが一直線にあるためには、A→P→Bとなり、AP(ベクトル)とAB(ベクトル)は平行(起点が同じAで同じ方向)にならなくてはいけません。よって、上記のような式になります。 また、原点をOとおくと、AP=OP-OA、AB=OB-OAとなり、これ ...続きを読む
ベクトルから考えると、点が線分上にある条件は
AP(ベクトル)=KAB(ベクトル)・・・・・Kは定数~~~~(1)
上記の式になります。詳しく言うと
A,P,Bが一直線にあるためには、A→P→Bとなり、AP(ベクトル)とAB(ベクトル)は平行(起点が同じAで同じ方向)にならなくてはいけません。よって、上記のような式になります。
また、原点をOとおくと、AP=OP-OA、AB=OB-OAとなり、これを(1)に代入すると
OP-OA=K(OB-OA)となります。これを、まとめると
OP=KOB+(1-K)OA~~~(2)
(2)も条件式になります。ちなみに(2)の場合、Pは線分ABをK:(1-K)に分ける点になります。

  • 回答No.2
レベル7

ベストアンサー率 41% (5/12)

点Aと点Bを通る直線(L)の方程式を求めて、この方程式を満たすxとyが直線L上にある点(x,y)です。 線分ですので、xがAXとBXの間にある場合だけを考えればいいと思います。 つまり、直線の方程式とAX≦x≦BX(AX≦BXなら)の二つの条件両方を満たせばいいのでしょうか? 不安だな~。 すいません、それでは。 ...続きを読む
点Aと点Bを通る直線(L)の方程式を求めて、この方程式を満たすxとyが直線L上にある点(x,y)です。

線分ですので、xがAXとBXの間にある場合だけを考えればいいと思います。

つまり、直線の方程式とAX≦x≦BX(AX≦BXなら)の二つの条件両方を満たせばいいのでしょうか?
不安だな~。
すいません、それでは。
お礼コメント
wannya

お礼率 40% (2/5)

ありがとうございました。同じ問題でも色々な考え方があるのですね。一次関数で考えるととても分かりやすいです。ただ、場合分けするときに、「なにか忘れてるんじゃないかしら・・・」といつも不安になってしまいます。
投稿日時 - 2001-09-17 13:03:53
  • 回答No.4
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

「…線分AB上に存在する場合…」となっているのでsuyasuyaさんの解では足りないね。 基本は正しいのだが…もっとも私もこういうミスをやった方なので人のこと言えませんが。 正しい答えは「OP=KOB+(1-K)OA、0≦k≦1」 ですね。 「0≦k≦1」がないと直線AB上ということになって具合が悪いね。 以上
「…線分AB上に存在する場合…」となっているのでsuyasuyaさんの解では足りないね。
基本は正しいのだが…もっとも私もこういうミスをやった方なので人のこと言えませんが。
正しい答えは「OP=KOB+(1-K)OA、0≦k≦1」 ですね。
「0≦k≦1」がないと直線AB上ということになって具合が悪いね。

以上
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