Ｘ5乗－1＝0 の因数分解の仕方は？

質問

私は、高２です。
Ｘ5乗－1＝0　の因数分解はどうやってするのですか？
又、ｘ(ｘ-1)(ｘ＋1)(ｘ-1)(ｘ＋1)＋５＝０
からは、解けるのでしょうか？
又、ｘ５乗ってどうやって入力するのですか？
どなたか教えて下さいお願いします。

回答No.9

ranx · ベストアンサー

(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
を解けばよいわけですね。
x=1が解の一つであることはすぐ分かりますね。
あとは
x^4+x^3+x^2+x+1=0
を解けばよいわけですが、少し工夫が必要です。
まずx=0は解ではありませんから、両辺をx^2で割ることができます。
x^2+x+1+x^(-1)+x^(-2)=0　　・・・(1)
となります。
ここで、
t=x+x^(-1)　　・・・(2)
とおくと、
x^2+x^(-2)=t^2-2
ですから、(1)は
(t^2-2)+t+1=0 すなわち、
t^2+t-1=0
と書き直すことができます。
二次方程式ですからすぐ解けますね。
出てきた解を(2)に当てはめればxの解が求まります。
あまりすっきりした形にならないので計算は少々大変ですが、
頑張って下さい。

お礼

ご返答有り難うございました。
この次にあった問題の応用に貴方の解答がちょうど使えました。
次に、回答して頂ける機会がありましたら宜しくお願いします。

回答No.8

guiter

＞一応、知ってます。
補足ありがとうございます。

まず、念のための前置きですが任意の複素数は極表示で
　z = r(cosθ+isinθ)
と書くことが出来ます。このとき、例えば z^2 は
　z^2 = r^2(cosθ+isinθ)^2
　　　= r^2{(cos^2θ-sin^2θ)+i(2sinθcosθ)}
　　　= r^2(cos2θ+isin2θ)
となります。
一般に z = r(cosθ+isinθ) のとき z^n は
　z^n = r^n{cos(nθ)+isin(nθ)}
となることがわかります。（de Moivreの公式ですね。）
この数式を複素平面上で考えてみると
絶対値１の複素数 cosθ+isinθ を掛けることは角度θの回転を意味します。

すると、α^5＝１を満たすαは５回 回転して複素平面上で点(1,0)に
戻ってくることになります。
まず、
　r^5{cos(5θ)+isin(5θ)}=1
の両辺絶対値をとると r=1 であることがわかります。
すると、
　cos(5θ)+isin(5θ)=1
となりますが、5θ=2nπ のときにこの式は満たされます。
0≦θ＜2π とすると n=0,1,2,3,4 となります。
つまり、θは
　θ = 0,2π/5,4π/5,6π/5,8π/5
の５つです。これらが１の５乗根になっています。
　a = cos(2π/5)+isin(2π/5)
とすると、因数分解の結果は
　(x-1)(x-a)(x-a^2)(x-a^3)(x-a^4)
となります。

補足

二回にわたる書き込み有り難うございました。
πをつかえる方法は、まだなれないせいか気づきませんでした。
つきの機会がありましたら宜しくお願いします。

回答No.7

brogie

極形式
z＝r(cosθ+isinθ)
ド・モアブルの定理
(cosθ+isinθ)^n＝(cos(nθ)+isin(nθ))
も習っているのではありませんか？

ここでは一般の方も多く回答されていますので、自分にどれだけの知識があるのか、何処まで解けたのか？書かれておかれますと、回答者も対応しやすいようです。

お礼

うっかりしてました。アドバイス有り難うございます。

回答No.6

noname#7269

因数分解でなく極形式にしてまず、解を求めました。
極形式　z＝ｒ(cosx+isinx)　r>0 （角はxにしちゃいました）
z^5=1より　r^5*(cosx+isinx)^5=1
r=1 (cosx+isinx)^5=1
ド・モアブルの定理より（とても重要な定理）
(cosx+isinx)^5=1
cos5x+isin5x=1
両辺の複素数の実部と虚部を比較して
cos5x=1,sin5x=0
5x=360*n　ｎは整数
x=72*n
単位円を０度から５等分した角になる。０から３６０では
０、７２、１４４、２１６、２８８なので
答えは
x1=cos0+isin0=1
x2=cos72+isin72
x3=cos144+isin144
x4=cos216+isin216
x5=cos288+isin288
の５つになります。

お礼

丁寧な回答を有り難うございました。
次の機会があれば、宜しくお願いします。

回答No.5

guiter

因数分解というやり方は
　(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
までしか思い付かないのではないでしょうか。

複素数の極表示をご存知でしょうか？
このあたりを補足をお願いします。
もし、知っておられるなら１の５乗根ですから、
αは複素平面の単位円周上を５等分する点になるのですが、
知らない場合は少し計算が大変です。

補足

一応、知ってます。

回答No.4

tomo_t_21

すみません！
下の解答、問題を読み間違えていました。
申し訳ないです。

補足

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5＝1　の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。

回答No.3

tomo_t_21

Ｘ５乗－１＝０
－１を右辺に移項して、
　　Ｘ５乗＝１
同じ数字を５回かけて１になるのは、Ｘ＝１のとき。

　　ｘ（ｘ－１）（ｘ＋１）（ｘ－１）（ｘ＋１）＋５＝０
これを解くと、
　　ｘ（ｘ２乗－１）（ｘ２乗－１）＋５＝０
　　ｘ（ｘ２乗－１）２乗＋５＝０
　　ｘ（ｘ４乗－２ｘ２乗＋１）＋５＝０
　　ｘ５乗－２x３乗＋ｘ＋５＝０
これを解いても、ｘ＝１にはならないので、間違っていると思います。

『ｘ５乗の入力』とは、なんのことを指していらっしゃるのかわかりません。
質問をするときに、どう入力したらよいか、ということでしょうか？

お礼

曖昧な質問ですみませんでした。
次からは、注意しようと思います。
回答有り難うございました。

回答No.2

nabayosh

まず、因数分解ですから、別に右辺に＝０をつけることはありませんよ。

５乗は、^5なんて書き方をします。^５でも別にいいと思います。

さて、x^5-1は、x-1かx+1で割れるなら、因数分解できますよね。
試してみると、x-1で割れます。
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)
右側がもうすこし進むかどうかも考えてみてください。

方程式ですが、５を右辺に持っていくと、どうやらxは負の数だということがわかる程度です。
全部展開してから因数分解しなおしますけどね、僕なら。

補足

すみません、問題を少し書き間違えました。
α^5＝1　の複素数を使う問題です。皆さん、改めてお願いします。

回答No.1

yuhei-y

因数分解という言葉さえ忘れてしまっていました。
おもわず自嘲しています。

> 又、ｘ５乗ってどうやって入力するのですか？

この質問にお答えします。
このホームページ上で小さい「5」を表示することは不可能です。
故に、「x^5」と書けばいいと思います。

お礼

有り難うございました。
私個人としては、貴方のような回答の仕方は親近感があって好きです。
ポイントをおくれないことが残念です。
次に機会があれば宜しくお願いします。