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締切り
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n段の階段の上り方

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お礼率 6% (9/149)

この前家庭教師で小6の算数を教えていた時の問題で、
「階段を登るのに、1段、2段、3段の3種類の登り方が
できます。今6段の階段を登るのに何通りの方法がありますか。」
これは簡単です。上手に数え上げれば24通りとできました。
 で、「n段の階段を登るなら何通りか?」って考えてみましたところ思ったより難しい。
 一応できた所まで書いてみます。
n段の階段をP(n)通りで登るとすると
P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3) ただしnが4以上の時
P(1)=1 P(2)=2 P(3)=4
ここまで漸化式はできました。
ここからが「?」なんです。
 
分かる方教えてください。
途中までもあっているか、勝手に考えた問題なので
解けるかどうかも分かりません。
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回答 (全1件)

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レベル10

ベストアンサー率 51% (86/168)

またまた、この漸化式が出てきました。 いろいろな問題ができるものですね。 まず、  P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3) の特性方程式  x^3-x^2-x-1=0 の3つの解をα、β、γとすると  U=(19/27-√(11/27))^(1/3)  V=(19/27+√(11/27))^(1/3) として  α=(U+V) + 1/3  β=-(U+V)/ ...続きを読む
またまた、この漸化式が出てきました。
いろいろな問題ができるものですね。

まず、
 P(n)=P(n-1)+P(n-2)+P(n-3)
の特性方程式
 x^3-x^2-x-1=0
の3つの解をα、β、γとすると
 U=(19/27-√(11/27))^(1/3)
 V=(19/27+√(11/27))^(1/3)
として
 α=(U+V) + 1/3
 β=-(U+V)/2 - i(√3)(U-V)/2 + 1/3
 γ=-(U+V)/2 + i(√3)(U-V)/2 + 1/3
と書くことが出来ます。これら3つの解を用いると

  P(n)=-1/{(α-β)(β-γ)(γ-α)}*[(β-γ){P(3)-(β+γ)*P(2)+βγ*P(1)}α^(n-1) + cyclic ]

となります。

詳しくは参考URLをご覧になってください。


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