• ベストアンサー

円を周る最短距離

どうも。 日々思っていたことなんですが、 たとえば円形の池があるとしましょう。 その池を周る(つまり円の外もしくは円上の或る点から始まり、またその点に戻ってきてできる閉じた(?)円を内部に含む(もしくは重なる)図形の上を移動すること)距離が最短になるのは、やはりその円上を動いたときでしょうか? 要するにちゃんとした証明がしたいんですが、どうすればいいのか。 公理とかはないだろうし、「明らか」で片付けられる問題でもないような気がするし。 とりあえず良回答待ってます。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • Zincer
  • ベストアンサー率44% (89/202)
回答No.1

「人のふんどしで相撲をとる」ようなもんですが、参考URL(過去の質問)が参考になると思いますが? 私にはとてもついていけませんでした。

参考URL:
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=53355
toratorataro
質問者

お礼

ありがとうございます。Zincerさんが提示してくれた参考URL を参照すると出てきた、stomachemanさんの書いていた、 「周の長さを設定したとき、面積が最大になる図形が円だ」 というやつですべて解決できますね。 しかし僕は、変分法とやらにまだ歯が立たないようですんで、 完全な理解はできませんが、なんかすっきりしました。 感謝します。

その他の回答 (4)

回答No.5

円ではない最短経路(Lとします)が有ったと仮定します。 その最短経路Lは池から離れている箇所があるはずです。 ここまではいいですよね。 そこ(最短経路Lから離れた円上の一点)から池の円に接する直線を引きます。 その直線が最短経路と仮定した経路と交わった点をA,Bとします。 最短経路Lは接点の外側を回るしかないからA,Bが存在することに異論はないはずです。 そうすると、Lの一部を線分ABで置き換えた方が経路はさらに短くなり、Lが最短経路であることに矛盾します。 以上です。反論あればどうぞ。 ちなみに2点間を結ぶ最短経路が直線であることが「明らか」か?という疑問なのであれば、お手上げですのでパスします。

toratorataro
質問者

お礼

申し訳ございません。 僕は大きな勘違いをしていました。 そうか、先に接点を設定してしまうわけですね。 円ではない最短経路で円を含むものがあったとすると (円に毛が生えたような経路とか、要するに円に余計なものを付け足した経路)、 それよりも円のほうが経路の距離として明らかに短いから、 は存在せず、そしてそこで、 Lの内部にある円上の点の存在が確認でき、 そこからはnanashisanのご回答どおりですね。(以上、独り言です) そういえば、2点間を結ぶ最短経路はなぜ直線になるんだろう? それは公理にあったような気もしますけど.(by Euclid?) きりがないですね。 ともかく僕のわがままに付き合ってくださってありがとうございました。

toratorataro
質問者

補足

一応、確実に意思を伝えるため付け加えます。 僕ははじめ、円の接線を円上の一点からではなく L上の一点から引くものと思っていたのです。 以上です

回答No.4

>Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。 これはどういうことでしょうか。 円と一致しない点が存在すると仮定して矛盾を導くのが背理法です。 円と一致しない点が存在しないのなら、最短経路は円ということです。

toratorataro
質問者

補足

なんか食い違いが生じてるようなので、 一旦、nanashisanさんの証明を 省略抜きで書いてください。 「接線」と「接線と仮定した経路との交点(共有点というべきか)を結んだ線分」 が重なる場合は?でも確かにそのときでも、ほかの点を取れば 「接線」と「接線と仮定した経路との共有点を結んだ線分」 が重ならない場合は明らかにありますでしょうからそこから矛盾を見出せば 落着するだろうけど。 でも明らかで済ませられるのでしょうか。本当に。 すいません。なんか少々攻撃的になってますが、 とりあえず、証明を省略抜きで書いてください。 ご迷惑おかけします。

回答No.3

円ではない最短経路が有ったと仮定します。 その最短経路は池から離れている箇所があるはずですから、 そこで池の円に接する直線を引きます。 その直線が最短経路と仮定した経路と交わった… 以下省略。 こういう証明を背理法といいます。

toratorataro
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 nanashisanさんがいわんとしてる事は何となくわかります。 円ではない最短経路(Lとする)があったとして、 L上の或る一点Aが存在し、 Aから引いた円の接線lとLとの交点(A以外の)をBとすると、 直線ABは2点A,B間の最短経路で、Lにおける2点A,B間の経路より 短い。ということだと僕は思いました。 でもそれでは怪しいような気が僕はします。 Aの存在が今ひとつ不確定な気がするんです。 そこらへんどうでしょうか? お願いします。

  • ADEMU
  • ベストアンサー率31% (726/2280)
回答No.2

円の中心をOとし、開始点をP1として、次に移動した点をPnとします。三角形OP1Pnの角P1OPnをθとするとθが限りなく小さいとすると、P1Pnは殆ど円周上の点に限りなく近くなります。θを2π(360°)になるまで足していくと円周上の点の集合、つまり円になります。これは円周を微分で求める方法ですがわかりましたでしょうか。つまり円周上を移動したときが一番最短距離となるわけです。

toratorataro
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 確かに僕もこれと似た案は考えました。 でも、この証明は一見それっぽいですが、 その根底を支えているものが 多大なものであるような気がします。 僕は知識が浅いんで、そこら辺よくわかりませんが。 まあ、ありがとうございました。

関連するQ&A

  • 最短距離の量は保存されるか

    xy平面に直線と円があり、その最短距離は、直線上の点p、円上の点qのときとする。直線と円をそれぞれx軸方向にa倍、y軸方向にb倍した図形の最短距離は、点p、点qをそれぞれx軸方向にa倍、y軸方向にb倍した点の距離になるかどうか。  図形の性質から、そうなる、そうならない、とわかりやすい説明が付かないか考えています。よろしくお願いします。

  • 円の最短距離。。。

    円C:x2乗+y2乗ー16x-18y+96=0上の点と、直線J;4x+3y=5との最短距離を求めよ。。 最短距離というのはなんですか?自分の教科書簡単な方なので載ってません。 二次関数f(x)=x2乗+axのー2≦x≦2における最大値M(a)を求よ。 これは平方完成したら解けると思いしたんですがそれから先がピンときません。

  • 最短距離の問題です

    最短距離の問題です 座標空間において,x, y, z 座標の少なくとも1つが整数であるような点の集合 A を考える. (0,0,0) から (3,3,3) まで,A に属する点だけを通って移動する 最短経路の長さを求めよ. 答えは√41 です

  • 「最短距離」の接触判定

    1.マウスポインタの左ドラッグ中には、通った軌跡をサンプリングし、Flagを1にして座標(x,y)を「Point」という変数に記録(x[Point],y[Point],Flag[Point]=1)していくとともに、隣り合う座標点を結んで線を描く。 2.マウスポインタの右ドラッグ中に、指定した範囲周辺(例えば50*50[mm]以内)にサンプリングされた座標点が入ったら「接触」と判定する。 3.この際、複数の座標が範囲内に含まれている場合は、マウスポインタの中心から最短距離にある座標点を「接触点」とする。 4.接触点に対してアクションを起こす(例えば、移動させる、線の色や太さを変える、など)。 このようなプログラムにおいて、「最短距離にある座標点」の検出をどのように記述すればいいでしょうか。 接触判定、最短距離の接触点の検出、描線の開始・終了点の検出、アクション、という順番に記述しようと思うのですが、 【接触判定】 マウスポインタの位置と各Pointとの距離の絶対値をfor文で調べ、指定範囲内に収まっているものがあれば接触と判定。 【最短距離の接触点の検出】 ? 【描線の開始・終了点の検出】 最短距離の接触点から描画開始・終了方向にそれぞれシーケンシャルサーチして、Flagが1から0になるところの点をそれぞれ開始点・終了点とする。 【アクション】 開始点~終了点までの各Pointにアクションを起こす。 このような流れです。具体的にどのように最短距離の検出を書けばいいか、ご指導いただけませんでしょうか。使用ソフトはC++Builder4です。

  • 距離の問題…

    [問] 単位円 α^2 + β^2 = 1 上で、距離 d_1 , d_2 を次のように定義する。 d_1(<α,β> , <α´,β´>)=√(α-α´)^2+(β-β´)^2 d_2[p , p´]=⌒pp´ (1)距離の公理を満たすのを示せ (2)d_1(p,p´)≦d_2(p,p´)≦πd_1(p,p´) が成り立つのを示せ ものすごく分かりにくいかもしれないですが、単位円上に p , p´を取って   d_1(pp´)がpp´の直線距離   d_2(pp´)がpp´の弧 です。図を載せればいいのですが・・・、やり方が分からなくて・・・ ________________________________________ (1)は三角不等式が難しかったですが、なんとか証明できました。 問題は(2)なんですが、この不等式は明らかだと思います。 図を使えば説明できるのですが、証明方法が分からなくて困ってます。 みなさんの力を貸してください。よろしくお願いします。

  • 数学の問題です。お願いします。友達に頼まれたのですが・・・(1)

    $1:直線と角 定義: 半角線 交わる 交点 線分 延長 線分の長さ 距離 端点 角 角の大きさ 三角形ABC 頂点 辺 対辺 △ABCの内部 公理I: 図形はその形と大きさを変えないでその位置を変えることができる。 公理II: 二点を通る直線は一つであってただ一つに限る。 定理1-1  2つの直線は1点で交わるか、交わらないかのいずれかである。 証明:仮に2つの直線が少なくても2つの点で交わるとすると、(以下の文を書く) という風に、証明をする問題なのですが・・・分かる人いらっしゃいましたら教えてくださいm(__)m (背理法とかを使用するのかと思うのですが)

  • 点Qから最短距離の点Piを効率的に求めたい

    平面上にP1,P2,...,Pnが与えられています。 このとき、任意の点Qを与えると、Qからの距離の最短の点(等距離の点が複数あれば、そのうちの任意の1点)を返す関数(任意といった時点で数学的には関数でなくなっていますが)が欲しいのです。 単純に考えれば、forループで、全てのPiとの距離を求め、最短のPiを返せば良いのですが、点Qが移動する場合、直前のQに対応するPiである可能性が高いので、もう少し賢いアルゴリズムがある気がします。しかし、具体的なアルゴリズムが思いつきませんので、お知恵をお貸しください。 プログラミングはCを想定しています。

  • 円と球の鎖線

    図形の解説部で出てきたので、図面に用いる線と関係ないかもしれないのですが。 円が関係する図形(円形、円柱、円錐など)に用いる一点鎖線。 球体の周りの二点鎖線。 意味はなんですか?なぜ、他の図形では使わないのですか? 宜しくお願いします。

  • 正四面体の表面を移動したときの最短距離

    正四面体ABCDで1辺の長さ1、辺BCの中点をMとする。 また、辺BD上にBN:ND=3:2であるように点Nをとる。 Mを出発して、正四面体の表面を移動しながら、辺AC、辺CDの順に横切り、辺BCに至るときの最短距離は何か。 答え (3√3)/4 解き方を教えてください。 解説が詳しいとありがたいです。

  • 三角形と円に関する性質の超難問(大学生以上向き)

    三点 A, B, C が定円上にあり AB と AC が元の円に含まれるもう一つの一つの定円に接している時、BC が別の定円に接している。 以上のことを示したいのですが、普通の中学高校の知識では証明できない気がします。 どういった方法で証明すればよいか教えていただけないでしょうか。 図は、 http://homepage2.nifty.com/tangoh/miyaenandline.html​ が参考になると思います。