水素原子の波動関数の動径部分

質問

これは＜量子力学演習＞（しょうか房、小出昭一郎著）のＰ６２の＜３．２２＞に載っている問題です。
s状態（l=0）水素原子の波動関数をΨn＝Ｒn(r)＝Ｕn（ｒ）／ｒとし、Ｕnに対するシュレーディンガー方程式を求めると、
{-(h^2/2m)d^2/dr^2-e^2/4πεr}Un=EnUnとなります。
ここで波動関数の有界性より、∫|Ψn|^2dv ∝ ∫|Un|^2dr ＝　有界とならねばなりません。そこまではわかるんですが、そのあとに
Enが飛び飛びの値をとるためにはなぜかｒ＝０近傍でU(0)=0とならねばならないと書いてあるんですがこれは何処から出てきたんでしょうか？

回答No.2

tenro · ベストアンサー

量子力学では、正規条件||ψ||=1を満たすことが要求されているのであって、波動関数の値が無限大なってはいけないということはありません。実際、相対論的量子力学ではr->0で波動関数が無限大の解がゆるされます。この問題はパウリによって議論されており、ハミルトニアンのエルミート性を使います。

動径関数の一般解は
　　R(r)=a_1r^L{1+F1(r)}+a_2r^(-(L+1)){1+F2(r)}
とかけます。L>0の場合は波動関数の正規性からa_2=0が得られますが、L=0の場合はa_2がゼロでなくともr=0の近傍で積分は発散せず正規性からはa_2=0が結論されません。L=0の時は、ハミルトニアンHのエルミート性からa_2=0が出てきます。HがエルミートであればHの固有状態ψに対して、任意の状態φに対して
　　(Ｈφ,ψ)=(φ,Hψ)
が成り立ちます。これから少し議論を要しますが結論として、r->0でψが満たすべき条件として
　　lim r^2dψ/dr=0 ( r->0)
が得られます。これに一般解を代入するとa_2=0が導かれます。

小出氏の書をはじめ多くの量子力学の教科書では同じ議論（a_2がゼロでなければ、波動関数が原点で発散するのでa_2=0）がなされていますが、これは正しくないといえます。

この問題を正しく扱っている本として
　荒木源太郎著「量子力学」
がありますのでご覧になって下さい。

お礼

うおぉ、難しそうだ（笑汗）求めていた回答にど真ん中ストライクです、ありがとうございます！勉強します！

回答No.1

masudaya

U(0)≠0とすると
Ψn＝Ｒn(r)＝Ｕn（ｒ）／ｒ
がr=0で発散します.
そのためにU(0)=0
しかも1/rより早く0にならなければならないので,
r=0近傍でU(0)=0なのではないでしょうか?

補足

＃２のternoさんがおっしゃるように、自分も「波動関数が発散してはいけない」のなら理由はわかるんですが、物理量として有界が要求されているのは全空間の確率積分だと思って質問しました。回答ありがとうございます！