正三角柱の切断面の面積を求める方法
- 正三角柱の底辺の一辺が8cmであり、底面に対して45度の角度で切断した場合、最大の切断面の面積を求める方法について質問があります。
- 切断面の面積は16√6であり、最小値は32√3のように思われます。
- 質問者は座標を使って切断面の面積を求めようとしましたが、具体的な方法は分かりません。どのように求めるのか教えてください。
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切断面の面積
以前、 (1)底辺の一辺が８cmの正三角柱がある。この三角柱を、底面に対して４５度の角度で切断したとき、最大の切断面の面積はいくらか。 答えは【１６√６】だそうです。 という質問がありましたが、私も算定しようとしましたが、できませんでした。直感的には断面積は１６√６から３２√３の間で１６√６は最小値のような気がします。 私は、三点、(8sinθ,8cosθ,z1)、{8sin(θ+2/3π),8cos(θ+2/3π),z2}、{8sin(θ-2/3π),8cos(θ-2/3π),z3}、がx+y+√2z=0に乗るとしてz1,2,3を求めて、内積から面積を求めようとして挫折しました。 どのように求めるのでしょうか？
- peror
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#1で回答した者です。補足です。 問題に最大値は？とありますが、 切断する平面が三角柱の底面や上面を含まない場合が最大です。 含む場合は、底面三角形（面積16√3）よりも小さい図形を射影することになるので、底面三角形が全て射影されるときが最大となります。 よって、底面を含まない（底面と上面を含まない）ときは、正三角柱と切断する平面がどのような位置であっても、面積は√2倍だけ大きくなると言う事です。
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- Quattro99
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自信ありませんし、途中までしかわからず、これで出来るかどうかもわかりませんが。 原点、（x1,y1）、（x2,y2）の3点で出来る三角形の面積って、 1/2*|x1y2-x2y1| じゃないでしょうか？ ここからして間違っているかも知れませんが。 正三角柱の一つの角を原点、辺をx軸に合わせた状態から原点を中心に回転（θ）させていったときの原点以外の2点はθで表すことが出来ると思います。 その2点がxy平面をx軸を軸としてyが正の方が高くなるように45°回転させた平面に投影されたときのその斜めの平面上での座標もθで表すことが出来ると思います。 そこで、最初の三角形の面積の式に代入して計算できないでしょうか？
お礼
ありがとうございました。間違いがわかりました。
- hidecho
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そんなに難しく考えずに・・・ ここでいう「最大の断面積」というのは、 「底面の一部分を切断するような断面ではない」って言うことを言いたいのではないでしょうか？ 正三角形の高さ…60゜の三角形の辺の長さの比1：2：√3 と 断面の三角形の高さ…45゜の三角形の辺の長さの比1：1：√2 で 結構単純に求めちゃいました♪
お礼
その通りですね。間違いのポイントがわかりました。
- yasu1953
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切断したときの形を想像して下さい 切断面は三角形になるのが想像できると思います 三角形の面積は高さが同じならば底辺の 長さが長いほど面積が大きくなります 底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。 問題の場合底辺が８cmの時に面積が最大となります このときの三角形の高さは８＊ｓｉｎ６０°/ｓｉｎ４５°＝４√６ 三角形の面積は４√６＊８/２＝１６√６となります 変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな？？
- yasu1953
- ベストアンサー率0% (0/3)
切断したときの形を想像して下さい 切断面は三角形になるのが想像できると思います 三角形の面積は高さが同じならば底辺の 長さが長いほど面積が大きくなります 底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。 問題の場合底辺が８cmの時に面積が最大となります このときの三角形の高さは８＊ｓｉｎ６０°/ｓｉｎ４５°＝４√６ 三角形の面積は４√６＊８/２＝１６√６となります 変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな？？
お礼
ありがとうございます。疑問が解けました。
- corp
- ベストアンサー率40% (13/32)
こんにちは。 言葉で説明するのはちょっと難しいんですが、 正三角柱を底面に対して0度で切断した図形と 正三角柱を底面に対して45度で切断した図形との関係は、一方向にルート２倍だけ引き伸ばされる正射影と同じになります。 底面三角形の面積は16√3ですから、 射影した図形は1次元分の√2倍だけ大きくなり 16√6 という説明はだめですか？
お礼
切断面が一つの底辺と平行なら、その通りですが。 あれ、どの方向で切っても一方向しか伸びないのだから、どう切っても16√6ですね。私の勘違いでした。
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