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以前、
(1)底辺の一辺が8cmの正三角柱がある。この三角柱を、底面に対して45度の角度で切断したとき、最大の切断面の面積はいくらか。

答えは【16√6】だそうです。

という質問がありましたが、私も算定しようとしましたが、できませんでした。直感的には断面積は16√6から32√3の間で16√6は最小値のような気がします。
私は、三点、(8sinθ,8cosθ,z1)、{8sin(θ+2/3π),8cos(θ+2/3π),z2}、{8sin(θ-2/3π),8cos(θ-2/3π),z3}、がx+y+√2z=0に乗るとしてz1,2,3を求めて、内積から面積を求めようとして挫折しました。
どのように求めるのでしょうか?
  • 回答数6
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  • Aみんなの回答(全6件)

    質問者が選んだベストアンサー

    • 2005-04-08 19:26:54
    • 回答No.4
    #1で回答した者です。補足です。

    問題に最大値は?とありますが、
    切断する平面が三角柱の底面や上面を含まない場合が最大です。
    含む場合は、底面三角形(面積16√3)よりも小さい図形を射影することになるので、底面三角形が全て射影されるときが最大となります。
    よって、底面を含まない(底面と上面を含まない)ときは、正三角柱と切断する平面がどのような位置であっても、面積は√2倍だけ大きくなると言う事です。
    お礼コメント
    最大値の意味を勘違いしておりました。加えて、√2倍の図を描く時に作図ミスをしていました。
    投稿日時 - 2005-04-08 20:36:10
    • ありがとう数0
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    その他の回答 (全5件)

    • 2005-04-08 19:19:23
    • 回答No.1
    こんにちは。 言葉で説明するのはちょっと難しいんですが、 正三角柱を底面に対して0度で切断した図形と 正三角柱を底面に対して45度で切断した図形との関係は、一方向にルート2倍だけ引き伸ばされる正射影と同じになります。 底面三角形の面積は16√3ですから、 射影した図形は1次元分の√2倍だけ大きくなり 16√6 という説明はだめですか? ...続きを読む
    こんにちは。

    言葉で説明するのはちょっと難しいんですが、
    正三角柱を底面に対して0度で切断した図形と
    正三角柱を底面に対して45度で切断した図形との関係は、一方向にルート2倍だけ引き伸ばされる正射影と同じになります。
    底面三角形の面積は16√3ですから、
    射影した図形は1次元分の√2倍だけ大きくなり 16√6
    という説明はだめですか?
    お礼コメント
    切断面が一つの底辺と平行なら、その通りですが。
    あれ、どの方向で切っても一方向しか伸びないのだから、どう切っても16√6ですね。私の勘違いでした。
    投稿日時 - 2005-04-08 20:31:17
    • ありがとう数0
    • 2005-04-08 19:21:24
    • 回答No.3
    切断したときの形を想像して下さい 切断面は三角形になるのが想像できると思います 三角形の面積は高さが同じならば底辺の 長さが長いほど面積が大きくなります 底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。 問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6 三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります 変数を使わずに解答し ...続きを読む
    切断したときの形を想像して下さい
    切断面は三角形になるのが想像できると思います
    三角形の面積は高さが同じならば底辺の
    長さが長いほど面積が大きくなります
    底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
    問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります
    このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6
    三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります
    変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな??
    お礼コメント
    ありがとうございます。疑問が解けました。
    投稿日時 - 2005-04-08 20:33:45
    • ありがとう数0
    • 2005-04-08 19:21:36
    • 回答No.2
    切断したときの形を想像して下さい 切断面は三角形になるのが想像できると思います 三角形の面積は高さが同じならば底辺の 長さが長いほど面積が大きくなります 底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。 問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6 三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります 変数を使わずに解答し ...続きを読む
    切断したときの形を想像して下さい
    切断面は三角形になるのが想像できると思います
    三角形の面積は高さが同じならば底辺の
    長さが長いほど面積が大きくなります
    底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
    問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります
    このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6
    三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります
    変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな??
    • ありがとう数0
    • 2005-04-08 19:42:39
    • 回答No.5
    そんなに難しく考えずに・・・ ここでいう「最大の断面積」というのは、 「底面の一部分を切断するような断面ではない」って言うことを言いたいのではないでしょうか? 正三角形の高さ…60゜の三角形の辺の長さの比1:2:√3 と 断面の三角形の高さ…45゜の三角形の辺の長さの比1:1:√2 で 結構単純に求めちゃいました♪   ...続きを読む
    そんなに難しく考えずに・・・
    ここでいう「最大の断面積」というのは、
    「底面の一部分を切断するような断面ではない」って言うことを言いたいのではないでしょうか?

    正三角形の高さ…60゜の三角形の辺の長さの比1:2:√3 と
    断面の三角形の高さ…45゜の三角形の辺の長さの比1:1:√2 で
    結構単純に求めちゃいました♪
     
    お礼コメント
    その通りですね。間違いのポイントがわかりました。
    投稿日時 - 2005-04-08 20:37:04
    • ありがとう数0
    • 2005-04-08 20:13:11
    • 回答No.6
    自信ありませんし、途中までしかわからず、これで出来るかどうかもわかりませんが。 原点、(x1,y1)、(x2,y2)の3点で出来る三角形の面積って、 1/2*|x1y2-x2y1| じゃないでしょうか? ここからして間違っているかも知れませんが。 正三角柱の一つの角を原点、辺をx軸に合わせた状態から原点を中心に回転(θ)させていったときの原点以外の2点はθで表すことが出来ると思います。 ...続きを読む
    自信ありませんし、途中までしかわからず、これで出来るかどうかもわかりませんが。

    原点、(x1,y1)、(x2,y2)の3点で出来る三角形の面積って、
    1/2*|x1y2-x2y1|
    じゃないでしょうか? ここからして間違っているかも知れませんが。

    正三角柱の一つの角を原点、辺をx軸に合わせた状態から原点を中心に回転(θ)させていったときの原点以外の2点はθで表すことが出来ると思います。
    その2点がxy平面をx軸を軸としてyが正の方が高くなるように45°回転させた平面に投影されたときのその斜めの平面上での座標もθで表すことが出来ると思います。

    そこで、最初の三角形の面積の式に代入して計算できないでしょうか?
    お礼コメント
    ありがとうございました。間違いがわかりました。
    投稿日時 - 2005-04-08 20:38:10
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