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組み合わせの公式

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  • 質問No.130692
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お礼率 86% (456/526)

k ・nCk = n ・n-1Ck-1 という公式が何故こうなるのかわかりません。日本語でわかりやすく説明していただけないでしょうか。よろしくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.5
レベル9

ベストアンサー率 29% (14/47)

左辺=n人からk人の「グループ」を作り、さらにグループの「リーダー」を決めるときの場合の数。

右辺=n人から「リーダー」を一人選び、残りのn-1人からk-1人を選び、合計k人の「グループ」をつくるときの場合の数。

以上
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

大変よくわかりました。ありがとうございました。
投稿日時 - 2001-09-07 23:46:30
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その他の回答 (全4件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 44% (107/243)

左辺のnCkは公式に当てはめて(教科書に載っています) nCk =n・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)}/k! =n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k! ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!=k・(k-1)!と出来ます。 よって左辺は =k・n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k・(k-1)! =n・(n-1 ...続きを読む
左辺のnCkは公式に当てはめて(教科書に載っています)
nCk
=n・(n-1)・(n-2)・・・・{n-(k-1)}/k!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k!
ここでk!とは k・(k-1)・(k-2)・・・2・1なので式を変形してk!=k・(k-1)!と出来ます。
よって左辺は
=k・n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/k・(k-1)!
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

右辺のn-1Ck-1を同様に公式に当てはめると
n-1Ck-1 
=(n-1)・{(n-1)-1}・・・・[(n-1)-{(k-1)-1}]/(k-1)!
=(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!
となります。
よって右辺は
=n・(n-1)・(n-2)・・・・(n-k+1)/(k-1)!

左辺と右辺は同じなので等号が成立するわけです。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事どうもありがとうございます。式の変形もわからなかったので、解説していだだけてとても参考になりました。
投稿日時 - 2001-09-06 21:18:00


  • 回答No.2

日本語でということですが・・・ 私が考えるには、 この公式じたいにはあまり意味がなく(意味が無くもないかもしれませんが・・・) nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。 つまり nCk = n /k・n-1Ck-1  は分かりますでしょうか? nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1   =n/k・(n-1)・・・(n ...続きを読む
日本語でということですが・・・

私が考えるには、
この公式じたいにはあまり意味がなく(意味が無くもないかもしれませんが・・・)
nCk とn-1Ck-1の間の関係式というか、変形しただけだと思います。
つまり
nCk = n /k・n-1Ck-1  は分かりますでしょうか?
nCk = n ・(n-1)・・・(n-K+1)/k・(k-1)・・・・2・1
  =n/k・(n-1)・・・(n-k+1)/(k-1)・・・・2・1
  =n /k・n-1Ck-1  
あとは、両辺にKを掛けただけです。
私の結論は、
無理やりこじつけて、k ・nCk = n ・n-1Ck-1 に意味をつけられるかもしれませんが、ただ変形しただけだと思います。
お礼コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事ありがとうございます。ただの変形だったのですね。これなら自分でもすぐ作れそうです。ありがとうございます。
投稿日時 - 2001-09-06 21:20:18
  • 回答No.3
レベル9

ベストアンサー率 40% (25/62)

言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。 n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。 たとえば、A,B,C,Dの4つにつ ...続きを読む
言葉による説明が出ていないようですので、遅ればせながら、考えを申し上げます。説明がくどくなります。ご理解いただけるとよいのですが。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、k個のうちの特定番目(以下、特定席と書きます。一番初めでも、終わりでも、途中でもよいのですが。)に来るものによって、k個のすべてが同じでも、別なものとするといった組み合わせ方を考えます。
たとえば、A,B,C,Dの4つについて、3つを選ぶ組み合わせでは、普通は、ABCはBCA、BAC、CAB、...と同じで、これらは1個としかカウントできませんが、この場合は、特定席を一番初めとして、ABCは、BCA、BAC、CAB、…は別物とするわけです。ただし、特定席のA以外は順序に無関係ですから、ABC、ACBは1つとなります。

n個のうちから、k個を選ぶ組み合わせについて、これを考えると、

1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

2・次に、別にこれを考えますと、n個のうちから、k個を選ぶ単純な組み合わせは、nCk の組数がありますが、その1組ごとについて、特定席にk個のうちの1つを入れる組み合わせは、k個ありますから、総数は、k*nCk であります。

上記の1、2は、答えを得る筋道が違っただけですから、同じであります。つまり、与式が証明されたわけです。
補足コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事ありがとうございます。

>1.・特定席の1個を、n個のうちから選ぶnの場合のそれぞれのついて、k個の残りのk-1個を、n個の残りn-1個から選ぶ組み合わせの数, n-1Ck-1 だけありますから、総数は、n*n-1Ck-1 となります。

すいません。ここがわかりません。特等席を1個選ぶには誰を特等席にするかのn通りしかないように思われるのですが、n-1Ck-1 はなにを計算しているのかよくわかりません。
投稿日時 - 2001-09-06 21:26:37
  • 回答No.4
レベル8

ベストアンサー率 51% (23/45)

私も、それほど意味があるとは思いませんが…。  k・nCk = nCk・k ですから、左辺は、 n個の中から、k個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ ですよね。 結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。 これを、手順を変えて、 n個の中から、まず特別な要素を1個選び、 残った(n-1)個の中から、(k-1)個の要素からな ...続きを読む
私も、それほど意味があるとは思いませんが…。

 k・nCk = nCk・k

ですから、左辺は、
n個の中から、k個選んで、その中から、一つ選ぶ組み合わせ
ですよね。
結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

これを、手順を変えて、
n個の中から、まず特別な要素を1個選び、
残った(n-1)個の中から、(k-1)個の要素からなる集合を選ぶ、
ようにしたのが、
右辺です。

こんなんでよろしいでしょうか?
補足コメント
s-word

お礼率 86% (456/526)

お返事ありがとうございます。

>結果、1個の特別な要素と、(k-1)個の要素からなる集合(順番はどうでもいい)とが得られます。

すいませんyacob様への質問と重なるですが、右辺がよくわかりません。

それと、これは「Σ(k=0→n)k・nCk」を求めよという問題にちなんで出てきたものです。
投稿日時 - 2001-09-06 21:31:37
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