：公務員試験：数的処理（整数解）の問題です

質問

次の式を満たす正の整数a,b,cの和を求めよ．
1/a + 1/b + 1/c = 6/7

だれか教えてください．
問題集の回答みてもわかりません．

回答No.4

sonorin

他の回答者の方が色々と導き方を出されていますが、実際の試験ではこのような問題にあまり時間を割けません。
はじめに問題に回答が整数であることが書かれているし、こういった問題の傾向としてあまり大きな数字（３桁とか）になることはないです。

ですので、右辺の分母が「7」ですので、その倍数がa,b,cの公倍数になるようなパターンを幾つかはじき出します。そしてその左辺の分子の和が、その公倍数が分母になった際の分子になるようなパターンを特定していきます。

この場合では、３つの分子が「1」であるような分数の和であるわけですから、奇数の公倍数の分母はないと最初に断定できます。
それは、たとえば分母が「21」、「35」、「63」だとしたら、それらの公約数は順に「(1,)3,7,21」、「(1,)5,7,35」、「(1,)7,9,63」となります。a,b,cいずれかが「1」になることはありえませんから、これをまず除去します。すると残りは３つありますが、ここで右辺が「6」であることから、左辺の公倍数の分母における分子の和が偶数になる必要があります。ですが、これら３つの数字をa,b,cに当てはめた場合の分子は３つの奇数となり、その和は奇数になってしまいます。
ですので、最初から偶数であるとして進めていくと必然的にa,b,cのどれかは「2」であることが特定できます。

次に公倍数の分母が偶数である場合、その分母は「14」、「28」、「42」、「56」、「70」、「84」、「98」が考えられます。

もし、「14」だとしたら…、
右辺の分子は6*2=「12」で、a,b,cｂのいずれかは「2」ですので、ここでa=2とすると、1/b+1/c=12/14-7/14
=5/14　…となります。
ここで、「14」の約数は2の他に、「7、14」があり、これらをb,cに当てはめると、1/7+1/14=3/14で約分できなくなり、対象から外します。
こうして次々と約分できるまで可能性のある公倍数の分母の場合を探していくと…、

分母が「42」の場合、約数は1,2の他に、「3,6,7,14,21,42」があります。
1/b+1/c=36/42-21/42
=15/42
上に上げたb,cの候補の数字を分母にした場合の分子は、
「3」→14、「6」→7、「7」→6、「14」→3、「21」→2、「42」→1
ですので、これらの分子の和が「15」になるような組み合わせを探すと、
「3」と「42」（分子はそれぞれ、14,1）があります。

従って回答は、「2, 3, 42」となります。（1/2+1/3+1/42=6/7）

文章にすると長くてややこしく聞こえますが、理屈を考えるより、パターンを抽出し、どんどん計算していく方が答えが確実に見つけやすかったりします。

お礼

sonorin さん，非常に詳しく解説いただきありがとうございました．
数的処理のテクまで教えていただき，なんとお礼をいったらよいかわかりません．
今後ともよろしくお願いいたします．
では～

回答No.3

Umada

整数問題は、範囲を狭めておいて最後は解を一つ一つ吟味するのが常套手段です。(guiterさんのおっしゃる通りです)

【回答】
与式でa, b, cは等価であるので、a≦b≦cとして一般性を失わない。

a≦b≦cとしたので
　(1/a)+(1/b)+(1/c)≦3×(1/a)
が成り立つ。(変域を絞り込むときによく使う手です)
一方(1/a)+(1/b)+(1/c)=6/7なので
　6/7≦3×(1/a)
の関係があることが分かる。これより、aが取りうる範囲は1、2または3に限られる。

aが1の場合は与式を満たすb, cは存在しない。(1/aだけで既に6/7より大きいから)

aが2なら　(1/b)+(1/c)=5/14
一方、5/14=(1/b)+(1/c)≦2/bなので、
bは2、3、4、5のいずれかに限られる。(変域を絞る手法は先ほどと同じ)

b=2では　(1/2)+(1/2)+(1/c)=6/7となって、題意を満たすcはない。
b=3の時は　(1/2)+(1/3)+(1/c)=6/7の方程式を解いて　c=42。
b=4の時も同様に方程式は立てられるが、題意を満たす整数値cは存在しない。
b=5も題意を満たす整数値cは存在しない。

a=3なら　(1/b)+(1/c)=11/21。
上記と同様にして、bは3、4、5に限られる。
b=3の時、題意を満たす整数値cは存在しない。
b=４の時、題意を満たす整数値cは存在しない。
b=5の時も題意を満たす整数値cは存在しない。

考え方は合っていると思いますが、計算ちがいをしている可能性があります。
ご自分でチェックしながら読んで頂ければと思います。

お礼

Umadaさん，詳細な回答ありがとうございました！
よく考えてもう一度プロセスを確認したいと思います！！

回答No.2

guiter

一応理系としての回答をします。

基本的には tukutukui-yo さんのようにやれば良いのですが、
このままでは a の上限がなくどこまで調べれば良いのかわかりません。
（a=1000 などの時に質問の式を満たす場合は本当にないの？ということです。）

そこで、質問の式が a,b,c について対称な形になっているので
例えば a≦b≦c という仮定をして考えてみます。
すると、
　3/a ≧ 1/a + 1/b + 1/c = 6/7
となるので
　7/2 ≧ a
というように a を上から押さえることが出来ます。
a は正の整数ですから 3 まで調べれば良いですね。

a,b,c の組み合わせを求めなければいけないときは、
最後に a≦b≦c の条件をはずしたものも考えなければいけませんが、
今は、a,b,c の和を求めるだけなので a が最小としたままでも構いません。

お礼

返事おくれてすみません．
guiter さん，アドバイスありがとうございました．
参考にさせていただきます．

回答No.1

tukutukui-yo

これ、かなり有名な（？）問題だと思いますよ。
問題集の解答がどのように表記されていたのかは分かりませんが、
考え方の筋道だけ…。

左側を下手に変形する必要はありません。
まず1/aのとりうる最大値を考えてみましょう。
a=1ではダメですよね。a=2では……あり得ますね。
とりあえずa=2ということで。

残るは、1/b+1/c＝6/7-1/2になります。
こんな調子で計算してゆけば、ＯＫです。

a＜b＜cと仮定するだのなんだのとありますが、
わたしは文系人間なので無視します（笑）。
そういう意味では、理系さんからも回答があればよいですね。

しっかり解けなくても、正肢が選べればそのプロセスなんて
マークシートの読み取り機には分かりませんので。
試験勉強、頑張ってくださいね。

お礼

返事おくれてすみません．
tukutukui-yo　さん，アドバイスありがとうございました．
参考にさせていただきます．