螺線（らせん）の横から見た投影面積について

質問

半径ｒの鉄線を使った半径Ｒ（鉄線の中心が描く螺線の半径）のコイルが床の上に水平に置いてある。このコイルの一端を固定し、他端を回転なしで横方向（螺線の軸方向）に引っ張り、そのピッチ（コイルの山から山の長さ）がＰとなった時、横方向から見たコイルの１ピッチ分の投影面積は数式で表すとどうなるでしょうか。

　また、床面からの高さがｈの水平線から上の部分に出るコイルの、やはり横方向から見た1ピッチ内の投影面積は、どうなるでしょうか。
　ただしＲ＋ｒ≦ｈ≦２（Ｒ＋ｒ）とします。
　また、鉄線は、コイルの軸方向に伸ばしても、ｒは一定とします。
以上についてご教示ください。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

未だに、解答がありませんので、老骨に鞭打って、考えてみました。
まず、式を立てて見ましょう。
そのために、座標を決めます。

X軸を上方向に
Y軸を手前方向に
Z軸を右方向に
互いに直角に取ります。（右手座標系）

螺線の出発点をY軸上に取り、この螺線の式を書きます。
ここから反時計方向に回転していくものとします。
（普通に2次元XYで考えますと、良くある図形です、参考URLの運動に似ています。）

その式は、
x＝Rsinθ
y＝Rcosθ
z＝(θ/2π)P
となります。θはパラメータです。

これをXZ面に射影しますと、
y＝0とおいた時のしきですから
x＝Rsinθ
z＝(θ/2π)P
となり、周期がPのサイン曲線になります。

「横方向から見たコイルの１ピッチ分の投影面積は数式で表す」の「１ピッチ分の投影面積」とはどう取ればよいか分かりません。

後はご自分で考えて見て下さい。
参考になればよいですが（^^；

参考URL：

http://ayapin.film.s.dendai.ac.jp/~matuda/Test/cai02/CAIcenter01.htm

お礼

brogieさん
懇切丁寧にありがとうございました。
小生、実は、昨日から本日にかけて、四国、高松に出張しておりまして
ただいま、帰還いたしました。よって、お礼が遅くなり大変すみませんでした。
久しぶりに、高等数学（？）を味わわせていただき、本当にありがとうございました。
また、サインカーブの線長も必要になってきたのですが、本サイトで検索しましたら、幸いにもありましたので、これまた、高等数学のようですが、チャレンジしてみようかと思っております。
　なにせ、基礎が、ガタガタなので、どうしようもありませんが、今回、思い出し訓練にもなり、ありがとうございました。
今後とも、くだらない質問を出させていただきますが、また、よろしくご教示方
お願い申し上げます。
本当にありがとうございました。
tn238

補足

brogieさん
早速ありがとうございました。
小生、学生時代、さぼり気味で面積の出し方（積分）がいまいちよくわからないのでご教示ください。
brogieさんの式から、０からP/2の間のｚ軸上のサイン曲線の面積Ｓは

Ｓ＝∫Rsin((2π/P)z)dz

の０からP/2までの定積分になると思われますが、もしこれでよろしければ
この定積分の仕方と結果をご教示ください。

また、そうでなければ、間違いを含めてご教示ください。

回答No.2

brogie

Ｓ＝∫Rsin((2π/P)z)dz （０かP/2まで）
＝－R（P/2π）cos((2π/P)z)　（０かP/2まで）
＝－R（P/2π）cos((2π/P)（P/2）)－（－R（P/2π）cos((2π/P)０)）
＝－R（P/2π）cos(π)＋R（P/2π）cos(０）　
＝－R（P/2π）(－１)＋R（P/2π）(＋１）
＝R*P/π
となります。

公式（積分定数省略）
∫sin(ax)dx＝-(1/a)cos(ax)　
∫con(ax)dx＝(1/a)sin(ax)

定積分
∫f(x)dx（aからbまで)＝F(b)-F(a)
ただし、∫f(x)dx＝F(x)＋c

では、

お礼

brogieさん
懇切丁寧にありがとうございました。
小生、昨日と本日、四国、高松へ主張しておりまして、
ただいま、帰還いたしました。よって、お礼のメールがおそくなってしまい
すみませんでした。
久しぶりに、高等数学（？）を、味わわせていただきありがとうございました。
　なお、サインカーブの線長も出したいと思い、本「教えてｇｏｏ」で検索しましたら、幸いにもすでにありましたので、これまた、高等数学にチャレンジしようと
思っておりますが、本当にありがとうございました。
今後とも、また、よろしくお願い申し上げます。
tn238