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関数のグラフと導関数のグラフの関係

関数のグラフと導関数のグラフには、互いにどのような関係がありますか?

みんなの回答

  • taro1122
  • ベストアンサー率16% (6/36)
回答No.5

導関数は元の関数上の任意の点における傾きを表しています。

  • newtype
  • ベストアンサー率29% (14/47)
回答No.4

3次関数に限ってもあまり役にはたちません。 私が書いたことをしっかりマスターすれば、おのずと増減表を書けるようになります。ここでは増減表が書きにくいので、その意味を教えようとしたんですが…。 これも文部省の弊害なのかな。最初に、統一した理論を記述した教科書を編纂するよう指導しないから、同じことを2度、3度教えることになる。 私も新課程で勉強しましたが、高校の授業は重複するところを飛ばしていたと思います。 hariganeさんが意欲的ならば、数3、数Cの教科書を手にいれてまとめて勉強したらどうか。 ちなみに3次関数のグラフはある点にたいして対称です。 グラフの形は2種類で、 1.極値がなく、単調増加or減少 2.極値が2つ。 y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d=a(x-α)^3+P(x-α)^2+Q(x-α)+Rとする。(P,Q,Rは定数。) f’(x)=3ax^2+2bx+c=3a(x-α)^2+2P(x-α)+Q f"(x)=6ax+2b=6a(x-α)+2P ∴f"(α)=6aα+2b=2P ここでP=0となるαの値=-b/(3a)なので、これをα0とする。 さて、f(α)=R,f’(α)=Q,f"(α)=2P なので f(x)=a(x-α)^3+{f"(α)(x-α)^2}/2+f’(α)(x-α)+f(α)と書ける。 この式にα=α0を代入して f(x)=a(x-α0)^3+f’(α0)(x-α0)+f(α0)…(1) (∵f"(α0)=0) (1)式はy=ax^3+f’(α0)x(奇関数原点対称)のグラフを x軸方向α0,y軸方向f(α0)平行移動したものだから、対称の中心も、 原点から点{α0,f(α0)}にうつる。 ∴y=f(x)のグラフは点{α0,f(α0)}=[-b/(3a),f{-b/(3a)}]について点対称。 以上疲れました。

参考URL:
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noname#4530
noname#4530
回答No.3

>3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・ そいじゃ、f(x)=x^3,4x^3,-(1/2)x^3+5 などとしてグラフを書き、 #2に書いてあるコトを試してみてください。 そのあと、f '(x)のグラフも書いて、f(x)のグラフと見比べてみて、 newtypeさんが書かれているコトをかくにんしてミテください。

noname#4530
noname#4530
回答No.2

まず、何か一つ関数f(x)のグラフを書いてください。そして、その関数の 接線をいくつか書きます。(できるだけ多く書いたほうがいいかも) で、その接線の傾きが正のヤツ(右上がりのモノ)に注目してみると、 その接点の周辺ではy=f(x)のグラフは増加しているのが確認できると思います。 ということで、 f'(x)>0⇔f(x)はその周辺で増加 ということが確かめられると思います。 同様に、その接線の傾きが負のヤツ(右下がりのモノ)に注目してみると、 その接点の周辺ではy=f(x)のグラフは減少しているのが確認できると思います。 そんなこんなで、 f'(x)<0⇔f(x)はその周辺で減少 ということが確かめられると思います。 こんな風に、f(x)とf'(x)の関係を、y=f(x)のグラフだけで考えてみても また理解が深まるんじゃないかな~、というコトで一応書いてみました。

harigane
質問者

補足

すいません。うっかりしてました。3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・ 書き忘れていました。

  • newtype
  • ベストアンサー率29% (14/47)
回答No.1

導関数のグラフがx軸より、上にある区間は関数f(x)は増加する。 導関数のグラフがx軸より、下にある区間は関数f(x)は減少する。 f’(x)のグラフが点αを境に下から上に横切る⇔f(α)は極小値 f’(x)のグラフが点αを境に上から下に横切る⇔f(α)は極大値 f(α)が極値⇒f’(α)=0ですがこの逆はなりたちません。例;y=x^3のグラフ

harigane
質問者

補足

すいません。うっかりしてました。3次関数と導関数の場合に限って知りたかったのですが・・・ 書き忘れていました。

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