線形微分方程式の特殊解

質問

特殊解についての質問なのですが、たとえば
y'' + y' = A
があったとき、1/D f(x) = ∫f(x)dx を使って、
{1/(D^2 + D)}A と表しますよね。

これをいじって、A/(D-a) 等という形にできれば、公式から計算することはできるのですが、例えば 1/{D(D+3)} とかいう形だと、途端にわからなくなってしまいます。

この場合、D(D+3) の部分を部分分数に分解してから別々に計算、あとで足してもいいのでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

おっしゃるとおり，部分分数に分解して
(1)　　1/D(D+3) = (1/3){ 1/D - 1/(D+3) }
として，それぞれの逆微分演算子を f(x) に作用させて，特殊解を
(2)　　y = (1/3) ∫f(x) dx - (1/3) exp(-3x) ∫exp(3x) f(x) dx
とすればＯＫです．

ラプラス変換による基礎づけあたりの議論からほとんど明らかですが，
気になるのでしたら，以下のように直接確認することもできます．
(2)の y に D(D+3) を作用させて f(x) に戻ることを示せばいいでしょう．

(3)　　(D+3) {(2)の右辺第１項} = (1/3) f(x) + ∫f(x) dx
(4)　　(D+3) {(2)の右辺第１項} = -(1/3) f(x)
です．(3)は直接計算．
(4)は，(2)の右辺第２項がもともと -(1/3) {1/(D+3)} f(x) ですから，
D+3 を作用させれば -(1/3) f(x) になることは明らかです．
(3)+(4) で
(5)　　(D+3) y = ∫f(x) dx
がわかりました．
これに D を作用させて
(6)　　D(D+3) y = f(x)
で，めでたく元にもどっています．
つまり，(2)ははじめの微分方程式を満たしています．

D(D+3) でなくて，(D+α)(D+β) などでも同様にできます．

お礼

な、なるほど！
うまく1/Dに持ち込み、積分の形にするのがポイントですね。
ありがとうございます。例題を解いてもう少し慣れてみます。