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線形微分方程式の特殊解

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  • 質問No.120609
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お礼率 88% (361/410)

特殊解についての質問なのですが、たとえば
y'' + y' = A
があったとき、1/D f(x) = ∫f(x)dx を使って、
{1/(D^2 + D)}A と表しますよね。

これをいじって、A/(D-a) 等という形にできれば、公式から計算することはできるのですが、例えば 1/{D(D+3)} とかいう形だと、途端にわからなくなってしまいます。

この場合、D(D+3) の部分を部分分数に分解してから別々に計算、あとで足してもいいのでしょうか?
よろしくお願いいたします。
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レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

おっしゃるとおり,部分分数に分解して
(1)  1/D(D+3) = (1/3){ 1/D - 1/(D+3) }
として,それぞれの逆微分演算子を f(x) に作用させて,特殊解を
(2)  y = (1/3) ∫f(x) dx - (1/3) exp(-3x) ∫exp(3x) f(x) dx
とすればOKです.

ラプラス変換による基礎づけあたりの議論からほとんど明らかですが,
気になるのでしたら,以下のように直接確認することもできます.
(2)の y に D(D+3) を作用させて f(x) に戻ることを示せばいいでしょう.

(3)  (D+3) {(2)の右辺第1項} = (1/3) f(x) + ∫f(x) dx
(4)  (D+3) {(2)の右辺第1項} = -(1/3) f(x)
です.(3)は直接計算.
(4)は,(2)の右辺第2項がもともと -(1/3) {1/(D+3)} f(x) ですから,
D+3 を作用させれば -(1/3) f(x) になることは明らかです.
(3)+(4) で
(5)  (D+3) y = ∫f(x) dx
がわかりました.
これに D を作用させて
(6)  D(D+3) y = f(x)
で,めでたく元にもどっています.
つまり,(2)ははじめの微分方程式を満たしています.

D(D+3) でなくて,(D+α)(D+β) などでも同様にできます.
お礼コメント
pythian

お礼率 88% (361/410)

な、なるほど!
うまく1/Dに持ち込み、積分の形にするのがポイントですね。
ありがとうございます。例題を解いてもう少し慣れてみます。
投稿日時 - 2001-08-20 00:24:10
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