置換積分について

質問

「置換積分法を微少量の和の極限として説明できる」、
というようなコトを聞きましたが、それはどうやるのでしょうか？

回答No.1

newtype · ベストアンサー

∫f(x)dx 積分範囲はａからｂまでとする。

まず区間ａ≦ｘ≦ｂをｎ個の小区間に分割し、各小区間の代表値を定める。
ａ＝ｘ0，ｂ＝ｘｎとして、ｘｋ－１とｘｋの間Δｘkの代表値を ξｋとして次の和を計算する。
f(ξ1)Δｘ1＋…＋f(ξK)ΔｘK＋…＋f(ξｎ)Δｘｎ

n
Σｆ(ξK)ΔxK……（１）である
K=1

各小区間の幅を０に近づけていったとき（ｎ→∞）の（１）の極限値が
定積分∫f(x)dxである。
ここでｘ＝g(t)によるａ≦ｘ≦ｂとｇ＾-1(ａ)≦ｔ≦ｇ＾-1(ｂ)（逆関数です）
との間の１対１対応を用いて、区間ａ≦ｘ≦ｂの分割及び、代表値に対応する、区間ｇ＾-1(ａ)≦ｔ≦ｇ＾-1(ｂ)の分割及び代表値を定める。

ξK＝g(tk)とすると、ｘ－ｔグラフより、
Δｘk≒g'(tk)Δｔk
であることから、（１）は次のように書き換えられる。

n｀｀｀｀｀｀｀｀｀n
Σｆ(ξk)Δxk＝Σｆ(g(tk))g'(tk)Δtk……（２）
K=1｀｀｀｀｀｀｀k=1

ａ≦ｘ≦ｂの分割における各小区間Δｘｋを０に近づいていけば、
ｇ＾-1(ａ)≦ｔ≦ｇ＾-1(ｂ)の分割における各小区間の幅Δｔｋも０にちかづいていく。このとき（２）は

∫f(g(t))g'(t)dt に近づいていく 。｛ 積分範囲はｇ＾-1(ａ)≦ｔ≦ｇ＾-1(ｂ)｝。結局、

n ｀｀｀｀｀｀｀｀ n
Σｆ(ξk)Δxk≒Σｆ(g(tk))g'(tk)Δtk
K=1｀｀｀｀｀｀｀k=1
↓ ｀｀ ｀｀｀｀ ↓

∫f（x）dx＝ ∫ｆ(g(t))g'(t)dt
(積分範囲aからbまで) ｛積分範囲はｇ＾-1(ａ)≦ｔ≦ｇ＾-1(ｂ)｝

となる。
多少｀｀｀｀が気になるかと思いますが、これは位置を調整しているだけなので無視してよいです。

お礼

ありがとうございました。

区分求積法でのやり方は大体理解することができました。

それでは、以下のような理解の仕方はどうなのでしょうか？

y = f(x) とx=a,x=b,y=0で囲まれた図形の面積は、

超薄い長方形f(x)dxをaからbまで

集めてくるということで、∫f(x)dx(a～b) 。

その微小な長方形の底辺dxをg'(t)dtに変換して、

f(g(t))g'(t)dt (tの世界から見れば、関数f(g(t))g'(t)の下の超薄い

長方形)　を、g^-1(a)からg^-1(b)まで集めてくるというコトで、

∫f(g(t))g'(t)dt{ g^-1(a)からg^-1(b) }　。

というふうに理解しても問題ないのでしょうか？

なんか怪しいようで、でもうまくいってしまう。このdxとかdtの取り扱いがね～

今までこの教えてgooのQ&Aをみてきて、なんとなく、

「超準解析」というのをやればこの疑問解決するのかなぁ～と感じていますが、

この予想は当たっているのでしょうか？

なんか的外れだったらごめんなさい。

なんか高校の頃は、問題解いて、そいで数学カンタン、とか思ってたけど、
全然違いますね～。(独り言)

回答No.4

newtype

１のお礼に書いてあることはdetmul2さんの解釈でいいと思います。
少し補足すると、x=g(t)のグラフというのは変換式をあらわす。

１．y=f(x)のグラフでｘ軸からａ≦ｘ≦ｂの範囲で「幅の長さがほとんどない長方形」を足しあわせたものが、∫f(x)dxとである。
２．x=g(t)のグラフでｘ軸からx=g(t)のグラフに向けて、１の長方形と同じ数の長方形を書きます。するとｔ軸に平行なたくさんの短冊がａ≦ｘ≦ｂの範囲であるのがわかると思います。
３．短冊とx=g(t)のグラフの交点からｔ軸に向けて垂直に直線を引くと、今度はx=g(t)のグラフの下に１と同じ数の長方形がg^-1(a)≦ｔ≦g^-1(b)の範囲であるのがわかると思います。
４．これら長方形から一つ選んで考えると、Δｘ／Δｔ≒g'(ｔ)⇔Δｘ≒g'(t)Δｔ。
あとは私の回答通りです。

実際に定理を使って計算するとき、
「ｘの微分」の考えを使えばdx=g'(t)dtとやることに抵抗はなくなると思います。
４で「Δｘ≒g'(ｔ)Δｔ」とやりましたがこの式はΔｘの近似式である。
「g'(ｔ)Δｔ」をｄｘであらわし、これを「ｘの微分」という。
ｄｘ=g'(t)Δｔ……（１）
とくにｘ=g(t)=tのときを考え、（１）に代入すると、
ｄｔ=1*Δｔになり、（１）に代入して、
ｄｘ=g'(t)ｄｔを得る。……☆
両辺をｄｔで割ると、一見dx/dt=g'(t)=dx/dtとなるが、左辺と右辺は別物である。
この☆式を使えばｘ＝（ｔ＋１）／２という変数変換を考えるとき、
ｄｘ＝｛（ｔ＋１）／２｝’ｄｔ⇔ｄｘ＝（１／２）ｄｔとすればよい。

まとめ 「ｄｘ＝g'(t)ｄｔの解釈の仕方」
１．私が示したように極限計算から極限値∫f(x)dx=∫f{g(t)}g'(t)dtを導く方法。ちなみにこの後の計算は定理でやる。
この左辺と右辺を見比べるとx=g(t)，dx=g'(t)dtを代入しただけだとわかる。
２．ｘの微分の考え方を使う方法。

以上

お礼

「微分の考え」というのは、今までまともに習った記憶がなく、
(もしかしたら忘れてるのかもですが…)
苦戦していましたが、今回、「微分の考え」をナントナク脳に定着させることが
できたような気がします。
あくまでナントナクですが…(HA～…このアタマがうらめしぃ～もっと高機能なアタマを～)

∞はとにかくオッキーンダ～、と思えばいいですが、
十分小さいdxとかは、たとえば図なんか書いて考えるときは、
そのdxよりも小さい世界が目にちらついて考えにくかったりしたのです。
というのがとりあえず今思いついたいいわけです…

ものわかりの悪いぼくに付き合ってくれて、ホントにありがとうございました。

回答No.3

newtype

stomachmanさんのおしゃる通りです。
私の式は一価関数では簡単に説明できるのですが、多価関数では一対一対応ではないので、このままでは本当に意味がない。
「１対１の対応を用いて、区～」と書いてある所は一価関数の時だけに成り立つと修正しといてください。

さて、ｘ＝ｇ（ｔ）が多価関数の時を考察しましょう。
ｘ＝ｇ（ｔ）のグラフを書いて、ｘ＝ａ {ming(t)≦ａ≦maxg(t)}のｔ軸に平行な直線とｘ＝ｇ（ｔ）の交点をそれぞれ
（ｔa1，ａ）（ｔa2，ａ）……（ｔaｎ，ａ）とする。（ｔa1≦ｔa2，…≦ｔaｎ）

１．ｔ＝ｇ＾-1(ａ)を満たす、すべてのｔを小さい順に並べる。
２．今度はａを動かして、１と同じようにそれぞれのａについてｔを並べる。
３．１，２のすべてのｔを小さい順に並べ、番号をつける。
（ｔ1≦ｔ2≦…ｔk≦…≦ｔｎ）
４．あとは一価関数のときと同じように、ｘの分割及び代表値に対応する、ｔの分割及び代表値を定めてやる。

こういうことを多価関数のときに自動的にやっていると考えられる。
以上

参考URL：

a

お礼

ちょっとムヅカシかったので、一般的な場合ではなく、

x = g(t) = t^2 などとして自分でやってみたところ、

g^-1(a) = {A｜a = g(A)}
g^-1(b) = {B｜b = g(B)}

としたとき、g^-1(a)の任意の要素からg^-1(b)の任意の要素までの
どの範囲で積分しても同じ結果になりそうですね。

それでは、ありがとうございました。

回答No.2

stomachman

不定積分を理解なさったのなら、「置換積分法」（変数変換）は、
df/dx = (df/dt)(dt/dx)
を積分形で表したものに過ぎないことはお分かりの筈。ここでのポイントは：
　xやtをひとつだけ見れば「変数」ですが、xとtは独立ではない。つまり両者の間に関係があり、xはtの関数 ( x(t) )である。

　でもまあ、区分求積法に戻って考えてみるのも悪い事じゃありません。変数xからtへの変換は
∫f(x) dx = ∫f(x) (dx/dt) dt
と表せますが、特にx(t)が一価関数でない場合（たとえば t=sin x という場合など）に何が起こっているのか、まで含めて考察しなくちゃあ、意味がありません。

　なお、「置換積分」は一般に多重積分にも拡張され、たとえば二重積分なら、
∫∫f(x,y) dxdy = ∫∫f(x,y) |J| dpdq
ここに|J|は、ヤコビアンと言い、行列Jの行列式(determinant)であり、Jは
Ｊ＝　∂x/∂p　∂y/∂p
　　　∂x/∂q　∂y/∂q　
という行列です。

お礼

アドバイスありがとうございました。

ホントに参考になります。