テンソル、分極、電気感受率について

質問

電場Ｅを与えた時、分極（Ｐ）は、
P =P(0)+e0（c(1):E＋c(2) : :EE＋c(3) : :EEE＋…）
と表すことができ

e0は真空中の誘電率。
P(0)は静的な分極。
c(1)は１次の電気感受率、２階のテンソル。
c(2)は２次の非線形感受率、3階のテンソル。
c(3)は３次の非線形感受率、４階のテンソル。

とあるでのすが、２階、３階、４階のテンソル？？
式中の「: :」の記号はなに？？

と、私の頭では何を表しているのかチンプンカンプンです。
テンソルと分極について、
また、この式が何を意味しているのか教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

noname#11476 · ベストアンサー

>分極ベクトルを計算できると言うことですか？
そうです。

>基本ベクトルをどのように取ったらいいのでしょうか？
ポイントはEEの表記をどうするかですが、これは、
参考ＵＲＬのようになります。

参考URL：

http://www.physik.fu-berlin.de/~bauer/habil_online/node8.html

お礼

返事が遅くなりすみません。
ありがとうございました。

回答No.3

tom1028

以前、ＳＨＧ（第２次高調波発生）を少しやっていた者です。

極性物質に電界Ｅをかけると、分極Ｐは、最初からあるＰ(0)とＥに比例（線形）した項（e0*c(1):E)、そしてそれ以外（非線形）の項（e0*c(2)::EE+e0*c(3)::EEE+　+　+ )になりますよ、って意味で、：はテンソルの掛け算です。例えば、線形感受率c(1)は２次元行列ですから、c(1)の非対角成分が０でなかったら、電場Ｅと違う方向にも分極Ｐが発生しますよ、ということです。

一般的にはc(1)>>c(2)>>c(3)ですから、弱い電場ではc(2)以降は無視してかまいません。しかし、強力な電場の下（例えばハイパワーのレーザを照射した場合）ではc(2)以降も無視できなくなります。この条件の下でＳＨＧ（第２次高調波発生）やＴＨＧ（第３次・・）の研究が行なわれています。

詳しくは、非線形光学効果の参考ＵＲＬをご覧下さい。

なお、０階テンソルがスカラー、１階テンソルがベクトルとなります。２階以降はすべて○○テンソルとよんでいます。非線形電気感受率c(2)の場合、Ｐ（１階）とＥ，Ｅ（各１階）を結ぶので足し算して３階テンソルになります。

材料分野でも、変位ｘと応力Ｆを結ぶ歪みも通常２階テンソルで議論します。しかし、Ｆが大きくなってくると非線形歪み（３階以降）を考慮しなければなりません。

非線形のことがらは、多くの分野で研究されています。

参考URL：

http://staff.aist.go.jp/t-miyamae/SFG1.htm

お礼

ご回答ありがとうございます。
第２次高調波をなさっているんですね。
私は、パルス圧縮について勉強しています。

線形感受率が２次、２次の非線形感受率が３次・・・
となるならそれぞれの座標系はどのような物になるのでしょうか？

回答No.2

noname#11476

平たく言うと行列と思ってください。数学的には行列そのものです。

たとえば、

(cx, cy, cz ) * (Ex, Ey, Ez)　（注：Ex,Ey,Ezは縦に並ぶ）

の行列の積では、 (cx*Ex, cy*Ey, cz*Ez) となりますね。この場合 x,y,zの成分はそれぞれ独立していたほかの座標系には影響を及ぼしていません。

でも、たとえばEy成分が x 成分に影響を及ぼすようなケースを考えると、このように単純にはいかなくなります。
そこでたとえば、

｜ｃ１１　ｃ１２　ｃ１３｜｜Ｅｘ｜
｜ｃ２１　ｃ２２　ｃ２３｜｜Ｅｙ｜
｜ｃ３１　ｃ３２　ｃ３３｜｜Ｅｚ｜

とすると、

ｘ成分は　ｃ１１＊Ｅｘ＋ｃ１２＊Ｅｙ＋ｃ１３＊Ｅｚ　とｙ方向やｚ方向の電場の影響を表すことが出来るようになります。
これをテンソルと呼んでいます。平たく言えは物理的にｙ，ｚ方向の電場も物質との相互作用によりｘ方向に影響が及ぶので、それを式で表す手段として使われているということです。

分極の話で言うと、テンソル成分のｃ１３が０でないということは、Ｅｚの電場がｘ方向の分極Ｐｘに影響を及ぼしているということです。

ご質問の：ですが、定数の掛け算ではなくテンソル計算でかけてください、程度の意味だと理解すればよいでしょう。要するに上記のように行列計算をするんだということがわかるようにしてあるという話です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
電解はベクトル（行列）で表されていて、
電解とテンソルを掛け合わせる事によって
分極ベクトルを計算できると言うことですか？

だったらこの場合２階、３階、４階のテンソルでは、
基本ベクトルをどのように取ったらいいのでしょうか？
直角座標系では、XYZだけだし・・・

回答No.1

physicsache

テンソルは,座標変換か,そのようなものです....

恐らく一階のテンソルがスカラー、
二階のテンソルがベクトル、
三階のテンソルが行列・・・・・

だったような気がします。

それはテンソルについての本に書いてあると思います。

お礼

テンソル事態は、なんとなく分かるんですが
そのテンソルと電気感受率との関係（式）
がよく分からないんです＾＾；

補足

ご回答ありがとうございました。