フーリエ級数とは？

質問

馬鹿っぽい質問ですみません。

フーリエ級数についてなのですが、級数を求める式はわかるのですが、実際に周期関数から当てはめて考えるときに頭が混乱してしまいます。

例えば、f(x)=x [-π < x < π]があるとき、奇関数なので
2/T(∫f(x)sin(nωt)dt に当てはめればいいと思うのですが・・・f(x)が連続してないと途端に混乱します。

初歩的で申し訳ないのですが、方法を教えていただけませんか？
また、初心者向けの解説サイトがあれば教えていただけたらと思います。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

質問の意図がもうひとつよく分からないのですが，
f(x) が連続関数でないとわからなくなる，ということでしょうか．

[-π,π] の範囲を考えるとして
f(x) のフーリエ級数は
(1)　　f(x) ～ (a_0/2) + a_1 cos x + a_2 cos 2x + ...
　　　　　　　　 　　　 + b_1 sin x + b_2 sin 2x + ...
で
(＝でなく～になっているのは，右辺が収束しない場合もあるし，
収束しても f(x) にならない場合もあるからです)
(2)　　a_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) cos nx dx
(3)　　b_n = (1/π) ∫_{-π}^π f(x) sin nx dx
ですね．
pythian さんの 2/T(∫f(x)sin(nωt)dt は少し記号が混乱しているようです．

さて，f(x) が f(x) = x ならわかるが，たとえば
(4)　　f(x) = -x　　(-π < x < 0)
　　　　　　　 x　　(0 < x < π)
だとわからないということですか？

(4)は偶関数ですから，b_n は全部ゼロです．
a_n の方は積分を分ければＯＫです．
(5)　　a_n = (1/π) [ ∫_{-π}^0 (-x) cos nx dx + ∫_0^π x cos nx dx ]
関数形が変わったら，そこで積分を分けて計算すればＯＫです．
積分で面積を求めるときもそうしていますよね．

お礼

わっ、すみません。(1)全体がフーリエ級数なんですね。失礼いたしました。

補足

丁寧なお答えありがとうございます。
なるほど、普通に積分の区間を分けるだけでいいんですね。
一つ確認したいのですが、フーリエ級数とはAnとBnを指すのでしょうか。それで、隅関数のときはAn、奇関数のときはBnを出せば良いんですよね？(^_^;?

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> 隅関数のときはAn、奇関数のときはBnを出せば良いんですよね？(^_^;?

その通りです(「隅」でなくて「偶」ですね．)

お気づきのようですが，(1)がフーリエ級数，
a_n や b_n はフーリエ係数ですね．

お礼

完璧に理解できました。大学院の入学試験で、どうしてもフーリエの問題を選択したかったもので・・・。お陰様で自信がつきました。ありがとうございました。(^-^)

回答No.1

zangas

今自分もフーリエ級数について勉強していますが、あまり深く考えないほうが良い
と思います。とりあえず、f(x)が奇関数であるか、偶関数であるかをかんがえます。f(x)が、連続，不連続に関わらず、定義として、原点対称であれば奇関数、y軸に線対称であれば偶関数である。
例えば、明らかに不連続な次のような関数
f(x)=1/2 (|x|<=π/2),=-1/2(π/2<|x|<=π)
は、偶関数である。
(分かりにくかったら、図に書いてみてください。)

このぐらいしか言えませんが、お役にたてれば幸いです．