ベルヌーイ試行の試行回数について【訂正】

質問

すみません。
ちょっと前(質問番号 118005)に
ベルヌーイ試行の試行回数について
質問しましたが、一部間違っていました。
問題は、成功確率　p が既知のベルヌーイ試行において、
成功回数 x が観測されたとき、全体の試行回数 N の
分布 p(N|x,p)　は、どうなるか？
ということだったのですが、
中で私は、
p(N|x,p) ∝　p^x * (1-p)^(N-x)
としましたが、
p(N|x, p) ∝ C(N, x) * p^x * (1-p)^(N-x)
ただし、C(N, x)は、N個の中からx個を選ぶ
組み合わせの数
でした。

この下で、各Nに対する値の和を1にするための
正規化係数は、簡単に書けるのか？ということを
知りたいです。

118005に対して、回答を下さった siegmund　さん、
大変失礼しました。

ということで、再度皆様にご教示を仰ぎたいと思います。
よろしくお願いします。

m(_ _)m

前回URL：http://www.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?qid=118005

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

いやあ，もっとよく見ないといけませんでしたね．
ちゃんと見れば，C(N,x) が抜けているくらい気づいたのですが．

さて，x は非負整数なので，x の代わりに m，
また，1-p = t と書くことにします．
N≧m でないと意味がないので
(1)　　Σ_{N=m}^∞ C(N,m) p^m (1-p)^(N-m)
　　　　= p^m Σ_{n=0}^∞ C(n+m,m) t^n　　　(N = n + m とおいた)
　　　　= p^m Σ_{n=0}^∞ [(m+n)! / m! n!] t^n

この和は二項定理の形になっています．
つまり
(2)　　1/(1-t)^s
　　　　= 1 + st + [s(s+1)/2!]t^2 + [s(s+1)(s+2)/3!]t^3 + ...
　　　　= Σ_{n=0}^∞ [(s-1+n)!/(s-1)! n!] t^n
ですので，(1)と比べると m = s-1 になっています．
したがって
(3)　　(1)式 = p^m [1/(1-t)^(m+1)] = p^m / p^(m+1) = 1/p

お礼

しばらくアクセスできなかったので、お礼が遅れて
すみませんでした。

結果が x(=m、成功回数)に依らない、というのは
ちょっと意外でしたが、たしかにそうなりますね。

シミュレーションしてみた結果も、一致しました。 (^_^;)

よく考えると、
C(N,m) * p^m * (1-p)^(N-m)　...(1) は、
p をかけると、
C(N, m) * p^(m+1) * (1-p)^(N-m)となりますが、
これが、
成功確率 p のベルヌーイ試行が　N+1回目に、
m+1 回の成功に達する確率に等しい、
つまり、N=∞まで和を取ると 1　になる、
ということから、
(1)のN=∞までの和は、1/p である、ということが
わかるはずでした。

＃なんか、乱暴な議論のような気もしますが。

どうもありがとうございました。

＃もしかしたら、この議論に何か指摘があるかもしれない
ので
＃この質問は、あとしばらく締め切らないで開けておきます。