方程式の変換

質問

tanαc・( 2＋cos^2 αc )－3αc＝3πnp
をαc＝・・・・の式に変換したいのですが、わかりません。
誰か教えてください。

回答No.10

siegmund

siegmund です．

この方程式の解は無数にあります．
解の分布は，(-π/2,π/2) の範囲に１個，
この範囲をπだけ正負に次々シフトしていった領域に１個ずつです．

この種の方程式の解の様子を調べるには，元の方程式を
(1)　　tan αc (2 + cos^2 αc) = 3(αc + 0.12π)
と変形して
(2)　　f(x) = tan x (2 + cos^2 x)
(3)　　g(x) = 3(x + 0.12π)
のグラフを考えるのが常套手段です．
y = f(x) と y = g(x) のグラフの交点が元の方程式の解を与えます．

y = f(x) のグラフは，大体 y = tan x のグラフと似た形で，
-π/2 と π/2 の様子が繰り返されます(三角関数の周期性)．
一方，y = g(x) のグラフは直線ですね．
(1)の傾きやら曲率などをちょっと考えますと，
最初に書いた解の分布の結論を導くことができます．

一番わかりやすいのは，適当なソフトで(2)(3)のグラフを図示することです．
ただし，tan x の存在のために，x = ±π2，±(3/2)π，(5/2)π±，...
では f(x) の値が ±∞ になりますので，描画範囲にご注意下さい．
ここで，図が示せないのが残念ですね．

KOBAP さんは「土木の設計者です」ということでしたら，
αc の範囲に
-π < αc < π，あるいは 0 < αc < 2π，というような
制限があるのでしょうか？

αc = 0 付近の解を数値計算すると以下のようです．
単位はラジアンです．

(-(5/2)π,-(3/2)π)の解　　αc = -7.76361
(-(3/2)π,-(1/2)π)の解　　αc = -4.55206
(-(1/2)π, (1/2)π)の解　　αc =　1.11514
( (1/2)π, (3/2)π)の解　　αc =　4.57744
( (3/2)π, (5/2)π)の解　　αc =　7.77208

1.115 は既に guiter さんが示しておられます．

αc = 0 から離れるにつれて，解は ±[(奇数)/2]π に近づきます．
7.77208 = 2.4739π で，もう(5/2)πにかなり近くなっています．

補足

こういう答えを待ってました。
ありがとうございます。
αcの範囲は、0＜αc＜1/2πです。

回答No.9

siegmund

siegmund です．

> くやしいですが、プログラムで求める考え方しかないことがわかりました。
解析的に解が表現できないことと表裏一体ですね．

> αc は、ラジアンでも度でもかまいません
が大変気になります．
方程式にαcが生で出てきていますので，ラジアンと度では全く話が違ってしまいます．
三角関数の中にのみαcが現れるのなら，別に構いませんが．

簡単な例を挙げましょう．
(1)　　sin x = 1/2
x = 30゜　あるいは x = π/6
どちらでも同じことです．これは後者に対応．
なお，実は解が無数にありますがその話はおいときます．

(2)　　sin x = (2/π)x
x がラジアンなら，x = 0，π/2 が解(視察でわかる)．
x が度なら，解は x = 0 しかありません．
x = 90゜が解になっていないことを確認してください．

αcがラジアン単位なのか，度単位なのか，明確にする必要があります．

補足

すみません。
生のαｃは、ラジアンです。
解（αc） がラジアンでも度でもかまいません。
と書くべきでした。

回答No.8

trumpet

Ｎｏ．７の補足です。

最も近いと言ったのは嘘です。もっとαｃを近似することはできます。
ただ、これ以上細かくしても意味が無いと思ったのでやめただけです。
誤解を招く表現を使って申し訳ありません。

右辺が具体化されても数学的根拠をもってαｃを出す方法を私は知らないのでこの方法をとりました。
お役に立てずに申し訳ありませんm(__)m

回答No.7

trumpet

暇なのでやってみました。表計算ソフトに（プログラムを作らずに）適当に入れてみました。まず、0.36π＝1.13097335529233
なので、これに最も近い数を探して見ました。
小数第ｎ位までの数で、0.36πを超えない最大の数と、0.36πを超える最小の数を並べて見ます。

左から度→→左辺の計算結果→→右辺との誤差です。

60　→→　0.75552166344018　→→　-0.375451691852146
63　→→　1.03105722192849　→→　-0.0999161333638343
64　→→　1.14358089613284　→→　0.0126075408405144
63.8　→→　1.12012132749826　→→　-0.0108520277940622
63.9　→→　1.13178926435812　→→　0.000815909065795095
63.88　→→　1.12944582924177　→→　-0.00152752605055828
63.89　→→　1.13061692908239　→→　-0.000356426209938698
63.893　→→　1.13096849987643　→→　-4.855415895344E-006
63.894　→→　1.13108571485678　→→　0.000112359564457654
63.893　→→　1.13096849987643　→→　-4.855415895344E-006
63.8931　→→　1.13098022081829　→→　6.86552596707024E-006
63.89304　→→　1.13097318823834　→→　-1.67053981536824E-007
63.89305　→→　1.13097436033191　→→　1.0050395864436E-006
63.893041 　→→　1.13097330544765　→→　-4.9844679717026E-008
63.893042 　→→　1.13097342265696　→→　6.73646336490918E-008
63.8930414　→→　1.13097335233137　→→　-2.96095570284649E-009
63.8930415　→→　1.1309733640523　→→　8.7599760778545E-009
63.89304142　→→　1.13097335467556　→→　-6.16769080252766E-010
63.89304143　→→　1.13097335584765　→→　5.55323564910282E-010
63.893041425　→→　1.1309733552616　→→　-3.07223135820323E-011
63.893041426　→→　1.13097335537881　→→　8.64879279305342E-011
63.8930414252　→→　1.13097335528505 　→→　-7.28062055088685E-012
63.8930414253　→→　1.13097335529677 　→→　4.4406700538957E-012

誤差が正で、末尾がE-012のときは、小数第11位まで同じだよ、という意味で捕らえてください。（誤差が負の値のときは小数第10位まで同じ）

解に最も近いαｃの値は63.8930414253°（約1.115rad）です。
解はこれだけではないと思いますし、数学的根拠もまったくなくて申し訳ないですが・・。

お礼

ご苦労さまです。
くやしいですが、プログラムで求める考え方しかないことがわかりました。
ありがとうございました。
また、何かありましたらよろしくお願いします。
ちなみに私、数学があまり得意でない土木の設計者です。

回答No.6

guiter

αc＝1.115[rad]

くらいになったのですが、
あとは必要に応じて有効数字を考えて下さい。

補足

EXELの関数等で式をいれて
左辺と右辺が等しくなるようにαcの数値をトライアルで入れて探すことは、私でもできます。

αc＝（ここの算定式が知りたいのです。）＝1.115[rad]

すごくわがままかな注文かもしれませんが
よろしくお願いします。

回答No.5

siegmund

siegmund です．

guiter さん，適切な補足ありがとうございます．

KOBAP さん，ｎとｐの数値がわかっているなら，
αc を数値的にもとめるのはいくらでも手段があります．
具体的に書かれた方がよいでしょう．

補足

tanαc・( 2＋cos^2 αc )－3αc＝3πnp
tanαc・( 2＋cos^2 αc )－3αc＝3×3.14×15×0.008

tanαc・( 2＋cos^2 αc )－3αc＝1.13
　　　　　　　　　　ｏｒ　
tanαc・( 2＋cos^2 αc )－3αc＝0.36π

αc＝？

αc は、ラジアンでも度でもかまいません。

よろしくお願いします。

回答No.4

guiter

No2の補足についてです。

＞生のαcとは、どういう意味でしょうか。
具体的には、左辺の最後の項 -3αc のことです。
tanαc などと違って角度αcがむき出しですよね。

＞理論的に式として表現できないのでしょうか？
すでに siegmund さんが回答されていますが
式として表現できません。

補足

繰り返し計算して、
αc（角度）を算出するしか方法がないということでしょうか。
なおｎとｐは、数値がわかっています。
よろしくお願いします。

回答No.3

rei00

rei00 です。

　KOBAP さん，すみません。私，なぜか，生の αc を見落としていました（お恥ずかしい）。申し訳ありません，先の回答は無視して下さい。

　siegmund さん，訂正ありがとうございます。ずいぶん簡単な質問なので，変だなとは思い，何回か見直したのですが，何故か 生の αc は目に入ってきませんでした。本当にお恥ずかしい・・・・どっかに穴無いでしょうか。

回答No.2

siegmund

この種の超越方程式は解析な形で解を表現できません．
生のαc がなければ rei00 さんの方針でＯＫですが，
生のαc があるとうまく行きません．

補足

rei00 さんの方針までは、わかっているのですが、
そのあと式としてまとまらないので、困っています。
生のαcとは、どういう意味でしょうか。
教えてください。

理論的に式として表現できないのでしょうか？

回答No.1

rei00

私には「αc＝・・・・の式に変換」はできませんが，方針だけ回答します。

　tanαc を cosαc で表すか，逆に， cosαc を tanαc で表します（三角関数の公式があったはずです）。

　後は，tanαc または cosαc の方程式になりますから解いて，tanαc または cosαc を求めます。

　得られた結果に tanαc または cosαc の逆関数を適用すれば，αc＝・・・・の式に変換できるはずです。

　いかがでしょうか。あっていると思いますが，違っていたらお許し下さい。