ベクトルについて

質問

数学の問題集をしていたら、やり方がわからないところがあったので
《問題集より》
＊　平面上の三つのベクトルをＯＡベクトル＝（４，ｘ）、
　ＯＢべクトル＝（１，２）、ＯＣベクトル＝（ｘ，６）とする。
　３点Ａ，Ｂ，Ｃが一直線上にあるようなｘの値を求めよ。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　答えは　－２，５　です

回答No.3

ume_pyon

補足に対する解答です。ヒントだけ・・・と思いましたが、
答えを書いたほうがまとめやすそうだったので、解答を。

素直に考えればよろしいでしょう。ポイントは、「大きさが最小になる」という記述をどう
捉えるかです。

Pの座標を(p,0)とすると、
PA(vector)=(2-p,1)
PB(vector)=(1-p,2)
ですよね。よって、
PA(vector)+3PB(vector)=(5-4p,7)
となります。ここまでは多分普通に考え付くと思います。問題はこの先。
「大きさが最小」って言われているのですから、大きさを計算してあげましょう。

PA+3PB=√{(5-4p)^2+49}
ですね。単純に考えて、(5-4p)^2は0以上ですよね。ならば、これが0になるときが、
最小値ってことになりますよね。それは、p=5/4となる点です。また、そのときのベクトルの
大きさは７ってことですね。あってますか？

一般に、長さが最小になるという場合には、
１）微分して、微分した式が０になる
２）二乗の中身が０になるようにする（二次関数の場合など）
など、いろいろな方法があります。微分積分は最もよく使われる方法ですので、
微分を習った際には、ぜひこのことを思い出して下さい。

お礼

微分は１学期にならったので、なるほど！と思いました。
１）、２）ともに頭に入れて今後の参考にしようかと思います。
親切なアドバイスありがとうございました。